Esperimento di Cavendish

L'esperimento di Cavendish è un esperimento condotto dal fisico scozzese Henry Cavendish nel 1798, mediante un apparato che gli ha consentito di determinare il valore della costante di gravitazione universale G.

 

In questa lezione forniremo una spiegazione dell'esperimento di Cavendish, e vedremo nel dettaglio quali intuizioni e ragionamenti indussero Cavendish a ideare il modello mediante il quale è riuscito ad individuare una prima misurazione della costante di gravitazione universale.

 

Premettiamo che ci sono due livelli di lettura per la spiegazione. La prima parte si rivolge a tutti, mentre la seconda è piuttosto tecnica e ne raccomandiamo la lettura ai soli studenti universitari.

 

Riassunto sull'esperimento di Cavendish

 

Abbiamo visto quanto sia piccolo il valore della costante di gravitazione universale; eppure un valore, per quanto piccolo possa essere, lo conosciamo. Verrebbe allora da chiedersi come sia stato possibile arrivare a determinarlo: ricordiamoci che non è possibile riuscirci mediante la legge di gravitazione universale tra un corpo qualunque e la Terra, perché questo approccio prevede di conoscere il valore della massa della Terra, il quale non può essere misurato direttamente. Occorre piuttosto conoscere il valore di G per poter calcolare la massa della Terra, cioè fare l'esatto contrario.

 

Il primo tentativo nella determinazione della costante G fu fatto da Henry Cavendish nel 1798, in quello che ad oggi viene comunemente chiamato esperimento di Cavendish.

 

Egli fece uso di una bilancia di torsione: si tratta di un apparato sperimentale molto simile al pendolo di torsione: si prende un filo teso in verticale, fissato in alto, al quale si aggancia in basso un'asticella, alle cui estremità sono poste due masse sferiche identiche. È importante che l'asta sia in equilibrio e che quindi rimanga perfettamente in orizzontale, per cui il punto di aggancio del filo deve coincidere col centro di massa del sistema asta-masse.

 

Le due masse dell'asta sono poste in prossimità di altre due masse molto più grandi. Visto dall'alto, il sistema appare come in figura:

 

 

Bilancia di torsione

La bilancia di torsione dell'esperimento di Cavendish 
vista dall'alto 

 

 

Qual è lo scopo della bilancia di torsione? Le due masse grandi attirano gravitazionalmente le due masse più piccole dell'asta; per il modo in cui sono disposte, le due forze generano due momenti torcenti uguali e concordi, che tendono a fare ruotare la bilancia torcendo il filo. Questo, a sua volta, genera un momento proporzionale all'angolo di torsione e che si contrappone a quello generato dalle forze gravitazionali.

 

Nella situazione di equilibrio, i due momenti sono perfettamente uguali e l'asta è ferma ma il filo resta leggermente ritorto. Stiamo parlando di quantità molto piccole perché le forze in gioco sono debolissime. All'equilibrio, la forza elastica del filo uguaglia quella gravitazionale ma è di segno opposto:

 

 F_{e} = - F_{g} = - G \frac{mM}{r^{2}}

 

dove con m indichiamo la masse delle sfere piccole, con M quella delle sfere grandi e con r la distanza tra i loro centri di massa.

 

Una volta che il sistema ha raggiunto l'equilibrio e tutto è fermo, si fanno ruotare di 180° le due masse grandi.

 

 

Rotazione delle masse nella bilancia di torsione

Masse grandi ruotate di 180°

 

 

In questo modo, l'equilibrio viene a mancare perché nella nuova configurazione le forze gravitazionali tirano dalla parte opposta, generando così un momento torcente che si va a sommare con quello di torsione del filo. L'asta allora comincia a ruotare lentamente alla ricerca di un nuovo equilibrio, compiendo un moto armonico smorzato per cui, col trascorrere del tempo, le oscillazioni si ridurranno fino ad arrestarsi del tutto. A quel punto si raggiunge una nuova configurazione d'equilibrio, del tutto analoga a quella che si aveva all'inizio prima di ruotare le masse grandi di 180°, col filo ora leggermente ritorto nel senso contrario.

 

Idea dell'esperimento di Cavendish

 

Il principio dell'esperimento di Cavendish si basa sull'idea che si può determinare il valore della costante G dall'osservazione del moto dell'asta. Vediamo in che modo.

 

Si monta un piccolo specchietto sul filo, sul quale viene puntato un raggio di luce. Quando il filo ruota, ruota anche lo specchietto, cosicché il raggio riflesso si sposta. Un'osservatore posto ad una distanza L dal sistema ha il compito di misurare lo spostamento del raggio riflesso su una scala graduata.

 

 

Esperimento di Cavendish

L'esperimento di Cavendish

 

 

L'angolo \varphi che l'asta descrive ruotando può essere calcolato mediante la formula per gli angoli in radianti (la formula per l'arco di un settore circolare), approssimando l'arco con il segmento s

 

 \varphi = \frac{s}{d}

 

In modo analogo possiamo calcolare l'angolo \beta tracciato dal raggio di luce riflesso, quando lo specchietto ruota

 

 \beta = \frac{S}{L} \ \ \ \longrightarrow \ \ \ S = L \beta

 

Dalla geometria del sistema e seguendo le regole della riflessione dell'ottica geometrica, si può dimostrare che

 

 \beta = 2 \varphi

 

e di conseguenza otteniamo:

 

 S = L 2 \varphi\ \ \ \longrightarrow \ \ \ \varphi = \frac{S}{2L}

 

Quando le masse M vengono ruotate di 180°, le forze elastica e gravitazionale F_e,\ F_g si sommano. Essendo uguali in modulo, possiamo chiamarle semplicemente F. Su una singola massa piccola m si genera così un momento pari al doppio di quello che genererebbe una sola forza.

 

 M = 2dF

 

Dalla legge fondamentale della dinamica rotazionale sappiamo che:

 

 M = I \alpha

 

ed esprimendo l'accelerazione angolare come derivata seconda dello spostamento angolare

 

M = I \frac{d^{2} \varphi}{dt^{2}}

 

D'altro canto possiamo calcolare la derivata seconda dello spostamento angolare esplicitamente:

 

 \frac{d^{2} \varphi}{dt^{2}} = \frac{d^{2}}{dt^{2}} \left( \frac{S}{2L} \right) = \frac{1}{2L} \frac{d^{2} S}{dt^{2}}

 

Scriviamo la derivata dello spazio S percorso dal raggio rilfesso come accelerazione (il raggio infatti parte da fermo e comincia ad accelerare nel momento in cui l'asta inizia la sua rotazione).

 

\frac{d^{2} \varphi}{dt^{2}}=\frac{1}{2L} a

 

Da qui, per sostituzione nella formula del momento torcente, ricaviamo

 

M = I \frac{a}{2L}

 

Considerando ora entrambe le masse piccole m. Abbiamo una coppia di forze che generano due momenti identici e concordi, e che pertanto vanno sommati.

 

 4dF = I \frac{a}{2L}

 

Esprimiamo F secondo la ben nota formula per il modulo della forza di attrazione gravitazionale

 

4d G \frac{mM}{r^{2}} = I \frac{a}{2L}

 

A questo punto non ci resta che determinare il momento di inerzia della bilancia di torsione la quale, essendo costituita da due masse poste a distanza d dal centro dall'asse di rotazione, è uguale a

 

 I = 2md^{2}

 

Procediamo per sostituzione

 

\\ 4d G \frac{mM}{r^{2}} = 2md^{2} \frac{a}{2L}

 

e ricaviamo infine l'espressione per la costante gravitazionale G

 

G = \frac{adr^{2}}{4ML}

 

Come vedete, la costante G dipende da quattro grandezze note perché caratteritiche del sistema utilizzato: r,\ d,\ M,\ L. L'unica misurazione da effettuare riguarda l'accelerazione del raggio riflesso. Essa può essere agevolmente rilevata appuntando la sua posizione sulla scala graduata ad intervalli di tempo regolari; ci si accorgerà che i dati raccolti, posti su un grafico spazio-tempo, almeno per i primi secondi in cui l'asta comincia a ruotare seguono l'andamento parabolico tipico del moto accelerato.

 

 


 

Come potete notare l'esperimento di Cavendish non è molto intuitivo... Onore e merito all'ingegno del fisico scozzese che per primo, nella storia della Fisica, è riuscito ad individuare un valore sufficientemente preciso della costante di gravitazione universale. Valore che nel seguito è stato ampiamente confermato sperimentalmente. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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