Accelerazione di gravità

L'accelerazione di gravità è l'accelerazione (indicata con il simbolo g) cui è soggetto un qualsiasi corpo quando viene lasciato libero di cadere, e che concorre al calcolo della forza peso.

 

Come vi avevamo promesso nella lezione sulla forza di gravità, è giunto il momento di approfondire il discorso relativo al valore dell'accelerazione di gravità e alla formula che permette di determinarlo. Nelle seguenti righe ci concentreremo dapprima sull'analisi dell'accelerazione di gravità sulla Terra, dopodiché concluderemo con un breve excursus sull'accelerazione di gravità sugli altri pianeti e corpi celesti.

 

Valore e formula dell'accelerazione di gravità

 

Quando abbiamo parlato della forza di gravità abbiamo detto che si tratta della forza con la quale la Terra attira verso il suo centro qualunque corpo dotato di massa. In quanto forza, essa è data dal prodotto della massa sulla quale la forza peso agisce e dall'accelerazione: la formula si ricava semplicemente considerando la seconda legge di Newton

 

F_{P}=ma

 

Indicando con a=g l'accelerazione di gravità, possiamo riscrivere la formula della forza di gravità nella forma

 

F_{P}=mg

 

Inizialmente abbiamo definito g come una costante e abbiamo detto che il valore dell'accelerazione di gravità sulla Terra, o meglio sulla superficie terrestre, può essere considerato pari a circa 9,81 m/s2

 

g\simeq 9,81\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}

 

dove l'unità di misura è ovviamente il m/s2, poiché l'accelerazione di gravità è un'accelerazione. Avevamo anche sottolineato, senza darne una chiara giustificazione, che in realtà l'accelerazione di gravità varia a seconda dell'altitudine e in generale della distanza del corpo soggetto alla forza peso dal centro della Terra.

 

L'accelerazione di gravità non è costante!

 

Ora che conosciamo la legge di gravitazione universale, possiamo giustificare questa affermazione. Infatti la forza peso non è altro che la forza di attrazione gravitazionale che si esercita tra un corpo e la Terra. Possiamo allora scrivere la seguente uguaglianza:

 

 G \frac{m M_{T}}{r^{2}} = mg

 

dove con m indichiamo la massa del corpo, con M_T la massa della Terra e con r la distanza tra i corpo e il centro della Terra. Semplificando la massa m perché compare in entrambi i membri, otteniamo la formula per l'accelerazione di gravità:

 

 g = G \frac{M_{T}}{r^{2}}

 

L'accelerazione di gravità dipende, oltre che dalla costante di gravitazione universale G e dalla massa terrestre, anche dalla distanza. Da notare invece che l'accelerazione di gravità non dipende affatto dalla massa del corpo soggetto alla forza peso; conoscevamo già questo principio per cui ogni corpo in caduta libera è soggetto sempre alla medesima accelerazione verso il basso, indipendentemente dalla sua massa.

 

Se il corpo si trova sulla superficie terrestre, allora la generica distanza r viene a coincidere con il raggio della Terra R_T, pari a circa 6370 km. Possiamo allora calcolare il valore dell'accelerazione di gravità alla superficie terrestre con questo dato, sapendo che la massa della Terra è M_T\simeq 5,97\cdot 10^{24}\mbox{ kg}

 

g_{superficie}=6,67 \cdot 10^{-11}\ \frac{\mbox{N}\cdot \mbox{m}^2}{\mbox{kg}^2}\cdot \frac{5,97 \cdot 10^{24}\mbox{ kg}}{(6,37 \cdot 10^{6}\mbox{ m})^2}\simeq 9,81\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}

 

Ed ecco che otteniamo il valore di g che abbiamo sempre saputo ed usato. Bisogna però dire che storicamente questa formula è stata originariamente usata per calcolare la massa della Terra, perché il valore dell'accelerazione di gravità può essere misurato in altri modi. Il procedimento precedente ha più che altro una (utile) valenza didattica.

 

L'accelerazione di gravità dipende dalla distanza dal centro della Terra

 

A questo punto dovremmo aver compreso un'importantissima proprietà dell'accelerazione di gravità: la distanza dal centro della Terra è un fattore importante nella determinazione del valore di g: se ci spostiamo sulla cima dell'Everest, ci siamo allontanati di 8848 km dal livello del mare e questo influisce sul calcolo dell'accelerazione di gravità, perché siamo più lontani dal centro della Terra e l'altezza della montagna va sommata al raggio terrestre.

 

g_{Everest}=6,67 \cdot 10^{-11}\ \frac{\mbox{N}\cdot \mbox{m}^2}{\mbox{kg}^2}\cdot \frac{5,97 \cdot 10^{24}\mbox{ kg}}{[(6370 + 8,848) \cdot 10^{3}\mbox{ m}]^2}\simeq 9,79\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}

 

Come ci aspettavamo, il valore di g è diminuito. Si tratta di una piccola differenza ma poiché la crosta terrestre non è uniforme, saremo sempre soggetti a piccole variazioni di accelerazione di gravità a seconda dell'altitudine alla quale ci troviamo.

 

Un'altra differenza percepibile nel valore di g è dovuta al fatto che la Terra non è una sfera perfetta e che quindi non si possa parlare correttamente di raggio. Come probabilmente già saprete, la Terra è più rigonfia all'equatore e schiacciata ai poli (e a titolo di cronaca il solido corrispondente viene detto geoide). Il raggio equatoriale è quindi maggiore di quello polare, di conseguenza all'equatore si registra un valore di g uguale a g\simeq 9,81\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2} mentre ai poli vale g\simeq 9,83\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}. Il valore dell'accelerazione di gravità cresce progressivamente al crescere della latitudine. Il valore di g\simeq 9,81\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2} da noi usato è quindi frutto di una media.

 

In ogni caso, nei calcoli per gli esercizi e per le applicazioni didattiche, a meno che non sia diversamente specificato potremo usare il valore g\simeq 9,81\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}, che fornisce un'approssimazione più che accettabile per i nostri scopi.

 

Accelerazione di gravità e moto di rotazione della Terra

 

Esiste ancora un altro fattore da considerare che incide sul valore dell'accelerazione di gravità e cioè il fatto che la Terra ruota su se stessa, e questo fa sì che ogni corpo presente sulla sua superficie sia soggetto alla forza centripeta. Consideriamo ad esempio un agricoltore che sta pesando una sacco di caffè in Equador. Ci troviamo all'equatore e vogliamo rappresentare il diagramma delle forze.

 

 

Accelerazione di gravità

 

 

Se consideriamo il moto di rotazione terrestre, allora oltre alla forza peso F_{P} che si avrebbe per il solo effetto dell'attrazione gravitazionale se la Terra fosse ferma, si aggiunge la forza centrifuga F_C che viene percepita dall'osservatore poiché è in un sistema di riferimento non inerziale (accelerato).

 

La forza centrifuga d'altra parte ha lo stesso modulo e direzione della forza centripeta, ma verso opposto, ed è quindi diretta perpendicolarmente verso l'esterno. In questo modo la forza peso registrata dalla bilancia, detta anche forza peso effettiva F_{P,e}, è pari alla somma di queste due forze.

 

 F_{P,e} = F_{P} - F_{C}

 

Esplicitando ogni termine dell'equazione otteniamo

 

 mg_e = mg - m \omega^{2} R_{T}

 

da cui, eliminando la massa

 

g_e = g - \omega^{2} R_{T}

 

Da qui possiamo ricavare la differenza tra l'accelerazione di gravità g che si avrebbe se la Terra non ruotasse e l'accelerazione g_e realmente percepita

 

 g-g_e = \omega^{2} R_{T} = 0,034 \frac{m}{\mbox{s}^2}

 

In definitiva abbiamo scoperto che la forza centrifuga riduce l'accelerazione di gravità percepita, poiché la differenza tra l'accelerazione di gravità per il solo effetto gravitazionale e l'accelerazione effettivaè positiva. In particolare, l'accelerazione di gravità effettiva è più piccola di quella che si avrebbe con la Terra ferma di circa lo 0,35 %.

 

 

Con questo è tutto. Abbiamo così considerato tutti i possibili fattori che incidono sul valore di g, che tecnicamente non può essere considerata una costante ma che di fatto, se stiamo studiando fenomeni soggetti alla gravità in prossimità della superficie terrestre, possiamo trattare alla stregua di una costante perché qualunque variazione dovuta ad una delle cause qui esposte è sufficientemente piccola da poter essere trascurata.

 

Accelerazione di gravità sugli altri pianeti e sui corpi celesti

 

Senza dilungarci oltre, sarà sicuramente chiaro che il discorso fatto fin qui vale in modo analogo per qualsiasi altro corpo celeste. Ovviamente l'accelerazione di gravità dipenderà dalla massa del pianeta o della stella considerata e potrà essere approssimata con un valore specifico in prossimità della superficie.

 

A titolo di esempio, l'accelerazione di gravità su Marte può essere approssimata a una costante pari a

 

g_{Marte}=3,69\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}

 

mentre l'accelerazione di gravità sulla Luna ha un valore approssimabile a circa 1/6 di quella terrestre

 

g_{Luna}=1,62\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}

 

Se volete giochicchiare un po' e conoscere i valori dell'accelerazione di gravità sugli altri pianeti, vi rimandiamo al tool per la gravità su pianeti e stelle. ;)

 

 


 

Abbiamo finito: nella lezione successiva parleremo del concetto di massa. Nel frattempo se siete in cerca di esercizi svolti, potete usare la barra di ricerca interna; qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio. :)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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