Primo teorema del guscio sferico

Il primo teorema del guscio sferico stabilisce che un qualsiasi guscio sferico omogeneo esercita un'attrazione gravitazionale come se la sua massa fosse concentrata in un punto situato nel suo centro geometrico.

 

Quello che presentiamo qui di seguito è un risultato teorico di fondamentale importanza, perché come vedremo tra un istante consente di estendere la legge di gravitazione universale dai punti materiali ai corpi di simmetria sferica. Per non farvi mancare nulla, oltre all'enunciato del primo teorema dei gusci e alla relativa spiegazione, ve ne proponiamo anche la dimostrazione. ;)

 

Enunciato e spiegazione sul primo teorema del guscio sferico

 

Quando abbiamo scritto la legge di gravitazione universale abbiamo specificato che si trattava di una legge applicabile a corpi puntiformi, o quantomeno a corpi estesi le cui dimensioni fossere trascurabili rispetto alla loro reciproca distanza. Quando però non è possibile considerare un corpo come puntiforme, la legge è ancora valida? Newton si era posto questa domanda e, grazie al calcolo infinitesimale, è riuscito a dimostrare quello che viene definito come primo teorema dei gusci, o primo teorema del guscio sferico.

 

Riportiamo sin da subito l'enunciato del primo teorema del guscio sferico: un guscio sferico di massa uniforme attrae gravitazionalmente un punto materiale esterno come se tutta la massa del guscio fosse concentrata nel suo centro.

 

Da qui è immediato intuire, come avevamo già anticipato nelle precedenti lezioni, che la legge di gravitazione universale è applicabile anche ai corpi celesti sferici, superando il limite iniziale dell'ipotesi dei punti materiali.

 

Esempio sul primo teorema dei gusci sferici

 

Per comprendere l'utilità e l'importanza dell'enunciato, vediamo subito un esempio. Nel caso in cui stessimo considerando la forza di attrazione gravitazionale tra la Terra e un satellite artificiale in orbita attorno ad essa, le distanze non sarebbero certamente tali da permetterci di considerare la Terra puntiforme. Se però consideriamo la Terra come una sfera perfetta, possiamo allora immaginarla come costituita da tanti gusci sferici di un dato spessore, ognuno dei quali, grazie al teorema appena enunciato, attira il satellite verso il suo centro.

 

Se ogni guscio sferico si comporta in questo modo, significa che nel complesso l'intera Terra attira a sé il satellite come se tutta la massa fosse concentrata in un punto materiale collocato nel centro geometrico del pianeta.

 

Dimostrazione del primo teorema del guscio sferico

 

Vediamo come è possibile dimostrare il primo teorema dei gusci. Prima di procedere ci teniamo a mettervi in guardia: la dimostrazione è piuttosto calcolosa... ;)

 

Prendiamo un guscio sferico di spessore s e massa M e immaginiamo di suddividerlo in tanti anelli molto sottili di massa dM.

 

 

Primo teorema del guscio sferico

 

 

Il punto di massa m soggetto alla forza gravitazionale del guscio si trova ad una distanza x da ogni punto dell'anello: l'anello è infatti la base di un cono che ha vertice in P e per apotema la distanza x.

 

Consideriamo ora una particella dell'anello di massa infinitesima dm_A che si trova nel punto A; questa esercita una forza F_A sulla massa m, diretta lungo la linea che congiunge A e P. Ora consideriamo il punto B, diametralmente opposto ad A; questo esercita una forza F_B uguale in modulo ad F_A, ma con direzione data dal segmento PB. Ognuna di queste due forze può essere scomposta i due assi cartesiani.

 

 

Diagramma delle forze per il primo teorema del guscio sferico

 

 

Essendo uguali in modulo, le componenti verticali delle due forze sono uguali e contrarie e si annullano, perciò sopravvive solamente la componente lungo l'asse x, diretta verso il centro del guscio. Questo vale per qualunque possibile coppia di punti diametralmente opposti lungo l'anello, per cui consideriamo solo la componente orizzontale della forza F_A.

 

Grazie ai teoremi trigonometrici sul triangolo rettangolo, possiamo esprimere il contributo infinitesimo della forza dF_A esercitata da dm_A nella seguente forma

 

dF_A=G\frac{mdm_A}{x^2}\cos(\alpha)

 

La forza totale dF che l'intero anello esercita sulla massa m è:

 

dF = \sum{dF} = \sum G\frac{mdm_A}{x^2}\cos(\alpha)=

 

Portiamo i termini costanti fuori dal simbolo di sommatoria, incluso il coseno dell'angolo \alpha che è sempre lo stesso per qualunque punto dell'anello:

 

=G\frac{m}{x^2}\cos(\alpha)\sum{dm_A}

 

A questo punto indichiamo la massa totale dell'anello con dM, per cui possiamo scrivere

 

dF=G\frac{mdM}{x^2}\cos(\alpha)\ \ \ \ \ (\bullet\bullet\bullet)

 

L'idea è ora quella di integrare per sommare tutti i contributi alla forza di ogni singolo anello, in modo da determinare la forza totale esercitata dal guscio. Prima però è necessario lavorare un po' sulla geometria del problema.

 

Il volume dell'anello è uguale a quello di un parallelepipedo di lunghezza 2\pi R\sin(\theta) (la circonferenza dell'anello), di larghezza Rd\theta e spessore uguale a s.

 

dV=s(2\pi R\sin(\theta))(Rd\theta)=2\pi sR^2\sin(\theta)d\theta

 

Indicando con \rho la densità del guscio sferico, che per ipotesi è costante sull'intera sfera in quanto omogenea, possiamo calcolare la massa dM dell'anello nel modo seguente:

 

dM=\rho dV=2\pi s\rho R^2\sin(\theta)d\theta\ \ \ \ \ (\bullet\bullet)

 

Ora dobbiamo procurarci tutti gli ingredienti che compaiono nella formula per la massa dM dell'anello, in modo da sostituirne l'espressione in (\bullet\bullet\bullet), nonché il termine \cos(\alpha) che a sua volta compare in (\bullet\bullet\bullet).

 

Dalla prima figura si vede che la distanza PQ può essere scritta in due modi, a seconda del triangolo rettangolo che si sta guardando (APQ o OAQ).

 

PQ=x\cos(\alpha)\: \: \: ; \: \: \: PQ=r-PO=r-R\cos(\theta)

 

Eguagliamo le due espressioni:

 

x\cos(\alpha)=r-R\cos(\theta)

 

da cui

 

\cos(\alpha)=\frac{r-R\cos(\theta)}{x}

 

Usando il teorema del coseno sul triangolo OAP, scriviamo:

 

x^2=R^2+r^2-2rR\cos(\theta)

 

da cui

 

R\cos(\theta)=\frac{R^2+r^2-x^2}{2r}\ \ \ \ \ (\bullet)

 

La formula che abbiamo appena scritto è fondamentale. Da un lato ci permette di esprimere il coseno di \alpha in funzione di x

 

\cos(\alpha)=\frac{r-\frac{R^2+r^2-x^2}{2r}}{x}=\frac{r^2-R^2+x^2}{2rx}

 

Dall'altro, possiamo differenziare la medesima formula (\bullet) in modo da ricavarci \sin(\theta)d\theta, che è richiesto in (\bullet\bullet)

 

-R\sin(\theta)d\theta=-\frac{2x}{2r}dx\: \: \longrightarrow \: \: \sin(\theta)d\theta=\frac{x}{rR} dx

 

In questo modo la massa dM diventa:

 

dM=2\pi s\rho R^2\frac{x}{rR}dx

 

E ora che siamo riusciti a scrivere sia dM sia \cos(\alpha) nell'unica variabile x, torniamo alla formula (\bullet\bullet\bullet) della forza infinitesima dF:

 

\\ dF=G\frac{mdM}{x^2}\cos(\alpha)=\\ \\ \\ =G\frac{m\cdot 2\pi s\rho R^2\frac{x}{rR}}{x^2}\cdot \frac{r^2-R^2+x^2}{2rx}=\\ \\ \\ =\frac{Gm \pi s \rho R}{r^2}\cdot \left(\frac{r^2-R^2}{x^2}+1\right)dx

 

Ora finalmente possiamo integrare per ottenere la forza totale esercitata dal guscio sferico, notando che la variabile x può variare tra r-R\mbox{ e }r+R:

 

\\ F = \int_{r - R}^{r + R}{dF} =\\ \\ \\ =\frac{Gm \pi s \rho R}{r^{2}} \int_{r - R}^{r + R}{\left(\frac{r^{2} - R^{2}}{x^{2}} + 1 \right) dx }=\\ \\ \\ =\frac{Gm \pi s \rho R}{r^{2}} \cdot 4R

 

Sapendo che la massa del guscio sferico è:

 

M=4\pi R^2s\rho

 

si ottiene finalmente la formula della forza di gravitazione universale

 

F=G\frac{mM}{r^2}\ \ \ (\mbox{Forza esercitata dal guscio})

 

Abbiamo finito e siamo giunti alla tesi del primo teorema dei gusci, perché r è la distanza tra la massa m e il centro del guscio.

 

 

Osservazione finale sulla validità del primo teorema dei gusci

 

La dimostrazione del primo teorema dei gusci è valida nel caso di corpi che hanno geometria sferica; la densità di ogni guscio deve essere uniforme, ma nel caso di corpi sferici non uniformi in cui non sono presenti differenze di densità tra un guscio e l'altro, il teorema è comunque valido.

 

 


 

Con questo abbiamo concluso... O quasi, perché nella prossima puntata introdurremo il secondo teorema del guscio sferico. E come al solito, nel caso siate in cerca di esercizi svolti, vi consigliamo di fare buon uso della barra di ricerca interna: qui su YM ci sono tantissimi esercizi risolti e spiegati nel dettaglio. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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