Secondo teorema del guscio sferico

Il secondo teorema del guscio sferico stabilisce che una qualsiasi particella situata all'interno di un guscio sferico omogeneo non esercita alcuna forza di attrazione gravitazionale sulla particella stessa.

 

Ora che abbiamo enunciato e dimostrato il primo teorema del guscio sferico sappiamo che un guscio sferico di densità uniforme attira gravitazionalmente un corpo come se tutta la sua massa fosse concentrata nel suo centro.

 

È quindi il momento di passare al secondo teorema dei gusci sferici, che ci aiuta a completare il discorso iniziato nella precedente lezione. In questa lezione ci concentreremo sull'enunciato del secondo teorema dei gusci, spiegandone nel dettaglio il significato e l'utilità che riveste nelle applicazioni.

 

Enunciato e spiegazione sul secondo teorema del guscio sferico

 

Non dilunghiamoci nelle chiacchere e andiamo direttamente al nocciolo della questione: l'enunciato del secondo teorema dei gusci sferici stabilisce che una particella collocata in punto qualsiasi all'interno di un guscio sferico di densità uniforme non risente di alcuna forza di attrazione gravitazionale.

 

Sorprendente, non trovate? :) Alla luce di questo risultato teorico possiamo concludere che:

 

- se ci troviamo al di fuori di un guscio sferico, veniamo attratti verso il suo centro;

 

- se ci troviamo all'interno del guscio, non importa dove, non risentiamo di alcuna forza gravitazionale.

 

Attenzione a non fraintendere l'enunciato del teorema: noi abbiamo parlato di attrazione di un guscio sferico. A titolo di esempio una conseguenza del secondo teorema dei gusci sta nel fatto che, se scendiamo ad una certa profondità al di sotto della superficie terrestre, risentiamo solamente della forza di attrazione gravitazionale di quella parte della Terra che ha raggio r uguale alla distanza tra il centro e la nostra posizione, che sarà minore del raggio terrestre R_T.

 

 

Esempio sul secondo teorema del guscio sferico

 

 

Rispetto al guscio sferico di spessore R_T-r ci troviamo infatti all'esterno e, per il secondo teorema dei gusci, esso non avrà alcuna influenza su di noi. Più si va in profondità, più la forza d'attrazione gravitazionale diminuisce fino ad annullarsi una volta raggiunto il centro della Terra.

 

Esempio: secondo teorema del guscio sferico e moto armonico all'interno della Terra

 

Questo principio ha una conseguenza curiosa: immaginiamo di poter scavare una galleria che attraversi diametralmente la Terra da parte a parte.

 

 

Conseguenza del secondo teorema del guscio sferico

 

 

Cosa succede se lasciamo cadere una pallina di massa m all'interno della galleria? Indichiamo con r la distanza tra il centro della Terra e la posizione della pallina. Ciò che attira la pallina è solo la sfera di raggio r e massa M=M(r), cioè una parte della massa terrestre M_T.

 

Supponendo che la densità sia uniforme ovunque, e ricordandoci che la densità è data dal rapporto tra la massa e il volume, possiamo eguagliare i seguenti rapporti:

 

 \frac{M}{V} = \frac{M_{T}}{V_{T}}

 

Usiamo la formula per il volume di una sfera (supponendo che la terra sia approssimabile ad una sfera)

 

\frac{M}{\frac{4}{3} \pi r^{3}} = \frac{M_{T}}{\frac{4}{3} \pi R_{T}^{3}}

 

da cui, mediante un paio di semplificazioni

 

M = \frac{r^{3}}{R_{T}^{3}} M_{T}

 

Ora usiamo la legge di gravitazione universale e calcoliamo la forza che si esercita sulla pallina alla distanza r:

 

 F = G \frac{mM}{r^{2}} = G \frac{mM_{T}r^{3}}{r^{2}R_{T}^{3}} = G \frac{mM_{T}}{R_{T}^{3}} r

 

dove abbiamo messo in evidenza la variabile r. Se guardiamo questa equazione da un punto di vista vettoriale, allora il vettore \vec{r} (che va da O ad A) e il vettore forza (che va da A ad O) sono discordi, per cui è necessario aggiungere un meno a secondo membro.

 

 \vec{F} = - G \frac{mM_{T}}{R_{T}^{3}} \vec{r}

 

In questo modo l'equazione assume la struttura di una forza elastica, del tipo:

 

 \vec{F} = - k \vec{x}

 

con costante elastica k data da:

 

 k = G \frac{mM_{T}}{R_{T}^{3}}

 

La pallina si muove allora di moto armonico: se parte da ferma da un'estremità della galleria, accelera fino a raggiungere la sua velocità massima nel centro, per poi cominciare a rallentare richiamata indietro dalla forza gravitazionale, che cresce in modulo al crescere della distanza della pallina dal centro. La pallina rallenterà fino a fermarsi quando avrà raggiunto l'altra estremità della galleria per poi ricadere di nuovo tornando indietro. Tutto questo ovviamente supponendo che il moto avvenga in assenza di attrito!

 

Calcolo della velocità della pallina

 

È anche possibile trovare con quale velocità si muove la pallina impostando il principio di conservazione dell'energia meccanica. Consideriamo due istanti: il primo, in cui la pallina si trova sulla superficie ed è ferma (quindi ha energia cinetica iniziale nulla) e il secondo quando si trova ad una generica distanza r dal centro.

 

Ricordiamoci poi che l'energia potenziale è quella elastica:

 

 \frac{1}{2} mv_{0}^{2} + \frac{1}{2} k R_{T}^{2} = \frac{1}{2} mv^{2} + \frac{1}{2} k r^{2}

 

da cui

 

k R_{T}^{2} = mv^{2} + k r^{2}

 

Da qui ricaviamo la velocità:

 

 v = \pm \sqrt{\frac{k \left( R_{T}^{2} - r^{2} \right)}{m}} = \pm \sqrt{\frac{GM_{T}}{R_{T}^{3}} \left( R_{T}^{2} - r^{2} \right)}

 

Come possiamo vedere dalla precedente formula, la velocità della pallina non dipende dalla massa del corpo. La pallina raggiungerà la sua velocità massima nel centro della Terra, quando r=0

 

 v_{max} = \pm \sqrt{\frac{GM_{T}}{R_{T}}} = 7,9 \cdot 10^{3} \: \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}

 

Quasi trentamila chilometri orari!

 

Un'altra applicazione del secondo teorema dei gusci: proporzionalità inversa tra F e d2

 

Il secondo teorema dei gusci ci fornisce anche la possibilità di verificare l'effettiva proporzionalità inversa che intercorre tra la forza gravitazionale e il quadrato della distanza. Si può infatti inserire un corpo all'interno di un guscio e supporre che esista un proporzionalità del tipo:

 

 F \propto \frac{1}{r^{2 + \epsilon}}

 

dove \varepsilon rappresenta lo scostamento dalla proporzionalità quadratica. Senza dilungarci troppo sulle evidenze sperimentali, basti sapere a titolo di curiosità che ad oggi non è mai stato osservato alcun valore sufficientemente grande di \varepsilon tale da confutare la legge di gravitazione universale di Newton.

 

Dimostrazione del secondo teorema del guscio sferico

 

Se avete già studiato e digerito la dimostrazione del primo teorema allora non avrete alcun problema con la dimostrazione del secondo teorema dei gusci sferici. Per dimostrarlo possiamo fare riferimento alla seguente figura, che è del tutto simile a quella visto per il primo teorema dei gusci, con la differenza che qui la massa m si trova all'interno del guscio e non all'esterno.

 

 

Dimostrazione secondo teorema del guscio sferico

 

 

I passaggi matematici sono identici a quelli visti per la dimostrazione del primo teorema, perlomeno fino all'integrale finale della forza espresso in funzione della variabile x. L'unica cosa che cambia qui sono gli estremi di integrazione, perché x può variare tra R-r\mbox{ e }R+r. Quindi abbiamo:

 

 F = \frac{Gm \pi s \rho R}{r^{2}} \int_{R - r}^{R + r}{\left(\frac{r^{2} - R^{2}}{x^{2}} + 1 \right) dx} = 0

 

e l'integrale si annulla, così asserito dall'enunciato del teorema.

 

 


 

Giunti a questo punto delle lezioni sulla gravitazione universale, siamo pronti per entrare nel cuore della teoria. Nella lezione successiva parleremo nel dettaglio di sistema tolemaico e sistema copernicano. Nel frattempo se volete mettervi alla prova potete consultare gli esercizi svolti disponibili su YM: potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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Tags: enunciato e dimostrazione del secondo teorema dei gusci.

Il secondo teorema del guscio sferico stabilisce che una qualsiasi particella situata all'interno di un guscio sferico omogeneo non esercita alcuna forza di attrazione gravitazionale sulla particella stessa.