Terza legge di Keplero

La terza legge di Keplero, detta legge dei periodi e formulata da Johannes Keplero nel 1619, è un legge che esprime la relazione tra il periodo di rivoluzione e la distanza media tra i pianeti ed il Sole, e stabilisce che il quadrato del periodo è proporzionale al cubo della distanza.

 

Eccoci arrivati alla quarta ed ultima lezione dedicata alle leggi di Keplero. Per non peccare di originalità procederemo esattamente come nelle precedenti lezioni: partiremo dalla spiegazione dell'enunciato della terza legge di Keplero per poi fornirne la dimostrazione ed analizzarne le conseguenze. :) 

 

Enunciato e spiegazione sulla terza legge di Keplero

 

Ancor prima di scrivere la terza legge di Keplero vogliamo spiegare quali ragionamenti gli permisero di formularla, in modo che l'enunciato non appaia troppo astratto. La formulazione della terza legge di Keplero prevede di individuare una relazione matematica tra due grandezze caratteristiche del moto dei pianeti: il periodo T del moto di rivoluzione e la distanza media dal Sole r.

 

In termini analitici il procedimento che portò Keplero ad enunciare la terza legge è piuttosto semplice: egli raccolse i dati relativi a r\mbox{ e }T per ogni pianeta del Sistema solare e tracciò dei grafici collocando la distanza media sull'asse x ed il periodo di rivoluzione sull'asse y. Fatto ciò, per ciascun pianeta segnò i punti in base ai dati raccolti e li unì con una curva. In questo modo Keplero si rese conto che tra il periodo e la distanza non vi è una relazione lineare (il grafico non è una retta) e neanche un rapporto di proporzionalità quadratica (il grafico non è un arco di parabola).

 

In base all'osservazione e all'analisi dei dati, Keplero intuì che la relazione matematica che lega il periodo di rivoluzione alla distanza media è il seguente

 

 T \propto r^{\frac{3}{2}}

 

dove il simbolo \propto significa direttamente proporzionale. Da tale relazione segue immediatamente l'enunciato della terza legge di Keplero: il quadrato del periodo di rivoluzione di un pianeta è proporzionale al cubo della distanza media del pianeta dal Sole.

 

Leggendo l'enunciato è anche possibile scrivere una semplice formula che riassume la terza legge di Keplero, del tutto analoga alla precedente ma ben più esplicita

 

T^2= kr^3

 

dove k è una costante di proporzionalità che può essere ricavata come sempre ricorrendo alle leggi di Newton.

 

Dimostrazione della terza legge di Keplero

 

Esattamente come nel caso della seconda legge di Keplero, per fornire una dimostrazione della terza legge è necessario conoscere i principi della dinamica newtoniana (che all'epoca di Keplero non erano ancora noti).

 

Per semplificare la dimostrazione ragioneremo nell'ipotesi di un'orbita circolare. La dimostrazione può essere successivamente estesa al caso delle orbite ellittiche, ma non vogliamo complicare troppo la spiegazione, per cui ci limitiamo ad una versione semplificata per motivi puramente didattici.

 

In questa ipotesi, non così lontana dal vero, la forza di attrazione individuata dalla legge di gravitazione universale ed esercitata dal Sole sui pianeti è di fatto una forza centripeta. Possiamo così eguagliare le espressioni delle due forze in un'equazione scritta in questo modo:

 

F_{G} = F_{c}

 

Scriviamo esplicitamente le espressioni delle due forze

 

G \frac{mM_{S}}{r^2}=m\omega^2r

 

Con M_s abbiamo indicato la massa del Sole e con m quella di un pianeta qualsiasi. Visto che abbiamo bisogno di far comparire il periodo, riscriviamo la velocità angolare \omega mediante la definizione e semplifichiamo la massa m del pianeta, visto che compare ad ambo i membri:

 

G \frac{M_{S}}{r^2}=\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2r

 

da cui

 

G\frac{M_{S}}{r^2}=\frac{4\pi^2}{T^2}r

 

Ora esplicitiamo il quadrato del periodo:

 

T^2=\frac{4\pi^2}{GM_{S}}r^3

 

ed ecco che compare la formula della terza legge di Keplero, dove la costante generica k ora assume una sua formula esplicita:

 

 k=\frac{4\pi^2}{GM_{S}}

 

Ancora una volta, Newton è riuscito a dare un fondamento teorico alle leggi sperimentali di Keplero.

 

 

Osservazione: generalità della terza legge di Keplero

 

La terza legge è valida anche nel caso di un satellite che ruota intorno ad un pianeta, come ad esempio la Luna. In questo caso però, la costante k non dipenderà più dalla massa del Sole, bensì dalla massa del pianeta che si trova al centro dell'orbita del satellite.

 

 

Applicazioni e conseguenze della terza legge di Keplero

 

Dalla terza legge, con l'opportuna formula inversa, è possibile calcolare la massa del Sole a partire dalla distanza Terra-Sole e dal periodo di rivoluzione terrestre, o anno sidereo, che ovviamente conosciamo molto bene.

 

 


 

Con questo abbiamo terminato la parte delle lezioni relative alle leggi di Keplero. Nella lezione successiva parleremo della materia oscura; nel frattempo se siete in cerca di problemi ed esercizi svolti, vi raccomandiamo l'uso della barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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