Campo gravitazionale

Un campo gravitazionale è un campo di forze generato dalla forza di gravitazione universale; viene esercitato da un qualsiasi corpo nello spazio circostante e può essere descritto con una rappresentazione mediante linee di campo.

 

In questa lezione presenteremo la definizione e la formula del campo gravitazionale generato da un corpo. Dopo aver spiegato il concetto di campo gravitazionale, e quello di campo di forze in generale, passeremo ad elencare le proprietà che lo contraddistinguono, con particolare riguardo al caso del campo gravitazionale terrestre.

 

Definizione e spiegazione sul campo gravitazionale

 

Per introdurre la definizione di campo gravitazionale è necessaria una piccola premessa. La forza di attrazione gravitazionale è una forza che agisce a distanza: non è necessario che due corpi vengano a contatto tra di loro perché essi possano interagire gravitazionalmente. Non c'è nemmeno bisogno di un mezzo perché, come nel caso dei corpi celesti, la forza si esercita anche se tra i due corpi c'è il vuoto.

 

Ma come è possibile tutto ciò? Nemmeno Newton sappe dare una risposta e si limitò a darne una formulazione (e già fece molto!). Per fornire una spiegazione fisica è necessario un nuovo concetto, quello di campo di forze, sviluppato nell'800 da Faraday per i fenomeni elettromagnetici ed in particolare per definire la nozione di campo elettrico. Il concetto di campo di forze è stato successivamente ripreso per descrivere i fenomeni gravitazionali.

 

L'idea è che un corpo dotato di massa conferisce allo spazio che lo circonda, in ogni singolo punto, la proprietà di attrarre a sé altri corpi dotati di massa; questo è il concetto di campo gravitazionale.

 

Come semplice esempio possiamo considerare il caso della Terra. Un satellite delle telecomunicazioni che orbita attorno alla Terra si trova all'interno del campo gravitazionale terrestre e per questo motivo risente della sua forza di attrazione gravitazionale, che funge da forza centripeta e che costringe il satellite in un moto circolare.

 

Formula e rappresentazione del campo gravitazionale

 

In generale è il campo gravitazionale che interagisce con i corpi esercitando su di essi una forza e, seguendo questa logica, può essere misurato e se ne può fornire una definizione matematica. Prendiamo un corpo di massa M che genera attorno a sé un campo gravitazionale. All'interno del campo poniamo un'altra massa m, che chiamiamo massa di prova, e misuriamo con quale forza F la massa di prova m viene attratta dalla massa generatrice del campo M.

 

Possiamo così scrivere la seguente formula per il campo gravitazionale

 

\vec{g}=\frac{\vec{F}}{m}

 

Notiamo che il campo gravitazionale è una grandezza vettoriale con le dimensioni di un'accelerazione. Inoltre dalla precedente formula si evince facilmente che il vettore campo gravitazionale è parallelo e concorde alla forza.

 

Se consideriamo la Terra, per misurarne il campo possiamo collocare un massa di prova ad un certa distanza dal suo centro e misurare la forza esercitata su di essa. Se spostiamo la massa di prova in un altro punto, avremo una forza diversa, e così via. Facendo questa operazione in più punti, otteniamo una mappatura del campo gravitazionale terrestre che può essere visualizzato grazie alle linee di campo.

 

Le linee di un campo di forze in generale vanno rappresentate in modo tale che, per ogni punto, il vettore del campo sia sempre tangente alla linea passante per quel punto. Le linee sono direzionali, cioè vanno rappresentate con una freccia che punta nello stesso verso del vettore del campo. Inoltre, laddove le linee sono più fitte il campo è più intenso, mentre il campo è più debole ove le linee sono più diradate.

 

Le linee del campo gravitazionale terrestre vanno rappresentate come nella seguente figura

 

 

Campo gravitazionale terrestre

 

 

Le linee di campo nel caso del campo gravitazionale puntano tutte verso il centro e hanno simmetria radiale; sono più fitte in prossimità della superficie e più diradate quando ci si allontana dalla Terra.

 

Proprietà fisiche di un campo gravitazionale

 

Ragioniamo per semplicità prendendo come riferimento il campo gravitazionale terrestre e cerchiamo di desumere le proprietà di un qualsiasi campo gravitazionale. Se sostituiamo l'espressione della forza di gravitazione universale nella definizione di campo che abbiamo scritto in precedenza, otteniamo:

 

 \vec{g} = - \frac{G \frac{mM}{r^{2}}}{m} \vec{u}_{r}  = - G \frac{M}{r^2} \vec{u}_{r}

 

1) Da qui si vede che il campo gravitazionale dipende solo dalla massa M che lo genera e dalla distanza r alla quale si trova la massa di prova, e che è indipendente dalla massa di prova. Con \vec{u}_r indichiamo il versore che individua la direzione radiale con verso uscente lungo la quale giace il vettore \vec{g}. Tornando al nostro esempio, il campo gravitazionale terrestre dipende solo dalla massa della Terra e non da quella del satellite.

 

2) Il valore del campo gravitazionale diminuisce al crescere della distanza, esattamente come nel caso della forza di attrazione gravitazionale: più si è distanti e più il campo si indebolisce. Sappiamo però che la forza gravitazionale ha un raggio d'azione infinito, per cui anche il campo si estende all'infinito, sebbene per distanze molto grandi tenda ad annullarsi.

 

3) (Caso specifico del campo gravitazionale terrestre). Se ci troviamo in prossimità della superficie terrestre, allora la forza che si esercita sulla massa di prova è uguale alla forza di gravità e possiamo considerare l'accelerazione di gravità come una costante: gsup = 9,81 m/s2. Abbiamo così:

 

 \vec{g} = \frac{\vec{F}_{p}}{m} = \frac{m \vec{g}_{sup}}{m} = \vec{g}_{sup} = 9,81 \: \frac{m}{s^{2}}

 

Dunque nei pressi della superficie il campo gravitazionale terrestre coincide con l'accelerazione di gravità che abbiamo sempre utilizzato nella risoluzione degli esercizi. Il peso che avvertiamo è dovuto all'interazione della nostra massa con il campo gravitazionale che la Terra genera attorno a sé. In prossimità della superficie, le linee di campo sono praticamente verticali e parallele, dandoci un valore di campo uguale in tutti i punti e diretto verso il basso, perpendicolarmente alla superficie.

 

 

Campo gravitazionale e forza peso

 

 

In generale il campo gravitazionale terrestre è uguale al vettore accelerazione di gravità cui è sottoposta una massa a una qualunque distanza dal centro della Terra. Non dimentichiamoci che g può essere considerata una costante solo nelle vicinanze della superficie terrestre, e in realtà che il suo valore dipende dalla distanza dal centro della Terra (vedi lezione sull'accelerazione di gravità).

 

4) Nel riferirci alla Terra, abbiamo sempre avuto a che fare con un corpo esteso pressoché sferico ma sappiamo bene che i corpi sferici si comportano gravitazionalmente come se tutta la loro massa fosse concentrata nei loro centri (primo teorema del guscio sferico). È quindi possibile definire il concetto di campo gravitazionale non solo per punti materiali, ma anche per corpi estesi sferici.

 

Un piccolo appunto finale: anche la massa di prova m genera un campo gravitazionale attorno a sè ed in cui è immerso il corpo di massa M, per cui i due campi interagiscono tra di loro disturbandosi a vicenda. Provate però a considerare il valore del campo gravitazionale generato dalla Terra e poi quello generato dal frigorifero di casa vostra, e vi accorgerete come il secondo sia praticamente inesistente rispetto al primo. In generale si tende ad usare una massa di prova "piccola" rispetto a quella che genera il campo per evitare fenomeni di disturbo.

 


 

 

 

Come ulteriore chicca (ma solo per chi ha dimestichezza con Analisi 2) vi invitiamo a constatare che un campo gravitazionale è un campo vettoriale \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3, infatti associa ad ogni punto dello spazio un vettore: la forza gravitazionale che risentirebbe la massa di prova in quel punto dello spazio.

 

Come di consueto invitiamo chiunque sia in cerca di esercizi svolti a cercarli qui su YM: avete a disposizione migliaia di problemi ed esercizi risolti dallo Staff e potete reperire tutto quello che vi serve con l'apposita barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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