La forza gravitazionale come forza conservativa

Vogliamo ora cominciare a trattare la teoria della gravitazione da un punto di vista energetico, e come sempre ragioneremo facendo riferimento al caso della Terra. Il primo passo consiste nel dimostrare un'importante proprietà della forza di attrazione gravitazionale, ossia che si tratta di una forza conservativa.

 

Ciò ci permetterà di definire un'energia potenziale associata alla forza gravitazionale e di passare allo studio dell'energia potenziale gravitazionale da un punto di vista generale

 

Obiettivo: espressione generale dell'energia potenziale gravitazionale

 

La prima domanda che ci vogliamo porre è: si può definire un'energia potenziale gravitazionale, cioè un'energia potenziale riferita alla forza di attrazione gravitazionale? Chi ha già letto le nostre lezioni di Dinamica risponderebbe "certamente sì!", lo abbiamo già fatto quando abbiamo trovato la formula:

 

 U = mgh

 

ma dovete ricordarvi che siamo arrivati a questa equazione partendo dalla forza peso ed ipotizzando quindi che l'accelerazione di gravità g fosse costante.

 

Ora che abbiamo cambiato il nostro modo di vedere la gravitazione sappiamo che l'accelerazione di gravità g non è costante e che dipende dalla distanza tra il centro della Terra ed il corpo soggetto alla forza di attrazione gravitazionale. Il valore di g può essere considerato costante solo per spostamenti che avvengono in prossimità della superficie e che sono trascurabili rispetto al raggio terrestre.

 

In sintesi, quella che conosciamo già è una formula che si riferisce ad un caso particolare dell'energia potenziale gravitazionale.

 

Conservatività della forza di attrazione gravitazionale

 

Ulteriore problema: sappiamo che è possibile definire un'energia potenziale solo per le forze conservative. La forza peso lo è, ma siamo sicuri che anche la forza definita dalla legge di gravitazione universale sia una forza conservativa?

 

Ricordiamo che una forza è conservativa se il lavoro da essa compiuto tra un punto iniziale A e uno finale B non dipende dal cammino scelto per andare da A a B. È questo principio che cercheremo di dimostrare ora nel caso della forza di gravitazione universale.

 

Dimostrazione: la forza gravitazionale è conservativa

 

La dimostrazione si rivolge ai soli studenti universitari: tutti gli altri possono passare direttamente alla parte finale della lezione. ;)

 

Immaginiamo di avere un pianeta di massa M che genera attorno a sé un campo gravitazionale radiale, all'interno del quale collochiamo un'altra massa m.

 

 

La forza gravitazionale è conservativa

 

 

Scegliamo due percorsi diversi che ci portano da A a B. Seguendo il primo percorso, il lavoro compiuto dalla forza è dato dalla somma di due contributi: il lavoro compiuto per spostare la massa m lungo l'arco di cironferenza AC e poi lungo un raggio da C a B.

 

 L_{AB_{1}} = L_{AC} + L_{CB}

 

Per spostamenti infinitesimi ds il lavoro lungo l'arco di circonconferenza AC è nullo, perché la forza radiale è sempre perpendicolare allo spostamento.

 

 L_{AC} = \vec{F} \cdot d \vec{s} = 0

 

Dunque dobbiamo tenere in considerazione solo il lavoro svolto da C a B dove la forza e lo spostamento sono paralleli.

 

 L_{AB_{1}} = L_{CB} = \int_{r_{C}}^{r_{B}}{\vec{F} \cdot d \vec{s}} = \int_{r_{A}}^{r_{B}}{\vec{F} \cdot d \vec{s}}

 

dove nell'ultimo passaggio abbiamo usato il fatto che la distanza di C dalla massa M è uguale alla distanza di A.

 

Ora seguiamo il secondo percorso e impostiamo il calcolo del lavoro:

 

 L_{AB_{2}} = L_{AD} + L_{DE} + L_{EF} + L_{FB}

 

Come prima, ogni lavoro lungo un arco di circonferenza è nullo, per cui:

 

 L_{AB_{2}} = L_{AD} + L_{EF} =  \int_{r_{A}}^{r_{D}}{\vec{F} \cdot d \vec{s}} + \int_{r_{E}}^{r_{F}}{\vec{F} \cdot d \vec{s}} = \int_{r_{A}}^{r_{D}}{\vec{F} \cdot d \vec{s}} + \int_{r_{D}}^{r_{B}}{\vec{F} \cdot d \vec{s}}

 

dove abbiamo uguagliato le distanze rD e rE e le distanze rF e rB. Ora, per la proprietà dell'additività degli integrali definiti, possiamo scrivere un unico integrale tra rA e rB:

 

 L_{AB_{2}} = \int_{r_{A}}^{r_{B}}{\vec{F} \cdot d \vec{s}}

 

che è la stessa cosa che abbiamo scritto per il lavoro seguendo il primo percorso. Qualunque percorso si scelga tra i due punti A e B, potremo sempre vederlo come somma di tratti radiali e archi di circonferenza, per cui otterremo sempre lo stesso risultato.

 

L_{AB_1}=L_{AB_2}

 

Dalla generalità dei percorsi e dei corpi coinvolti nella dimostrazione segue la tesi: la forza di gravitazione universale è conservativa e ciò implica che per essa sia possibile definire un'energia potenziale.

 

 


 

 

La trattazione prosegue nella lezione sull'espressione generale dell'energia potenziale gravitazionale. Non perdetevela! ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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