Energia potenziale gravitazionale per sistemi di più corpi

Dopo aver ricavato l'espressione generale dell'energia potenziale gravitazionale riferita alla forza di attrazione gravitazionale, e averla trattata nel caso di un sistema costituito da due corpi, facciamo un passo in avanti e vediamo come calcolare l'energia potenziale gravitazionale per un sistema con più corpi.

 

Vi suggeriamo di leggere la lezione senza focalizzarvi troppo sulle formule e di prestare attenzione al ragionamento che consente di scriverle. Nella chiosa finale introdurremo velocemente il concetto di energia di legame e spiegheremo come è correlata all'energia potenziale gravitazionale.

 

Energia potenziale gravitazionale: da un sistema di due corpi a più corpi

 

Proviamo a pensare a due corpi posti a distanza infinita: l'attrazione gravitazionale tra di loro è nulla, così come è nulla l'energia potenziale del sistema. Ora però vogliamo prendere uno dei due corpi e avvicinarlo all'altro fino ad una distanza r spostandolo a velocità costante. Nel muoverlo abbiamo compiuto sul corpo un lavoro L_{\infty}, ma se la sua velocità è costante, e quindi l'accelerazione è nulla, il lavoro totale è nullo. Infatti, più avviciniamo il secondo corpo al primo, più si fa sentire la forza di attrazione gravitazionale che compie lavoro (L_G).

 

Dunque abbiamo che:

 

 L_{tot} = L_{\infty} + L_{G} = 0

 

Questo significa che il lavoro compiuto nello spostare il corpo è uguale in modulo ma di segno opposto rispetto a quello compiuto dalla forza gravitazionale.

 

  L_{\infty} = - L_{G}

 

Vi ricordate l'espressione generale dell'energia potenziale gravitazionale U(r) che abbiamo ricavato nella precedente lezione? Se sì, ci basta ricordare che la variazione di energia potenziale è anche definita come \Delta U=-L. Di conseguenza 

 

  L_{\infty} = - L_{G}=\Delta U = U(r) - U(\inf) = U(r) = - G \frac{m_{1}m_{2}}{r}

 

La catena di uguaglianze che abbiamo appena scritto è ricchissima di informazioni. Essa non ci fornisce solamente un'espressione del lavoro svolto per portare il sistema alla configurazione finale, ma ci dice anche che il lavoro da noi compiuto per avvicinare le due masse da una distanza infinita ad una distanza r è uguale all'energia potenziale gravitazionale U(r).

 

L_{\infty}=U(r)= - G \frac{m_{1}m_{2}}{r}

 

Possiamo quindi dare questa definizione dell'energia potenziale gravitazionale per un sistema di due particelle: l'energia potenziale gravitazionale di un sistema di due particelle è uguale al lavoro svolto da un agente esterno per spostare le particelle da una distanza reciproca infinita fino ad una certa configurazione, in cui ogni particella ha una distanza finita dalle altre.

 

Energia potenziale gravitazionale per un sistema di 3 corpi

 

La precedente definizione è valida non solo per una coppia di particelle, ma anche per un sistema cositutito da più di due particelle. Prendiamo ad esempio il caso di tre corpi, ognuno con una propria massa e una distanza dagli altri due.

 

 

Energia potenziale gravitazionale per sistemi di più corpi

 

 

I tre corpi sono reciprocamente fermi, trattenuti da forze esterne che controbilanciano quelle gravitazionali. Vogliamo arrivare ad ottenere questa configurazione partendo da una situazione iniziale in cui i tre corpi si trovano a distanza infinita gli uni dagli altri.

 

Immaginiamo allora di spostare il primo corpo fino alla posizione voluta. Nel farlo non abbiamo compiuto alcun lavoro perché gli altri due corpi continuano a rimanere a distanza infinita, pertanto non interagiscono col primo.

 

Ora spostiamo il secondo corpo fino alla sua posizione: questa volta abbiamo compiuto lavoro perché, avvicinando il secondo al primo, abbiamo dovuto opporci alla forza gravitazionale che si esercita tra i due. Per quanto scritto prima, il lavoro è:

 

 L_{2} = - G \frac{m_{1}m_{2}}{r_{12}}

 

Infine dobbiamo spostare la terza massa. Anche in questo caso dobbiamo compiere lavoro ma per contrastare non una, bensì due forze gravitazionali: il terzo corpo infatti sarà attratto sia del primo sia dal secondo, entrambi già nella loro posizione finale

 

 L_{3} = - G \frac{m_{1}m_{3}}{r_{13}} - G \frac{m_{2}m_{3}}{r_{23}}

 

Il lavoro complessivo per costruire il sistema e portare le due particelle alla configurazione finale è dato dalla somma dei due contributi L_2,L_3. D'altronde, per quanto scritto prima, il lavoro complessivo per portare le tre particelle alla configurazione finale coincide con l'energia potenziale gravitazionale del sistema dei tre corpi, e quindi risulta:

 

 U = L_{\infty}=L_2+L_3

 

ossia

 

U=- \left(G \frac{m_{1}m_{2}}{r_{12}} + G \frac{m_{1}m_{3}}{r_{13}} + G \frac{m_{2}m_{3}}{r_{23}}   \right)

 

Per calcolare l'energia potenziale gravitazionale di un sistema di corpi bisogna dunque sommare l’energia potenziale di tutte le possibili coppie di particelle che costituiscono il sistema. Il ragionamento si estende facilmente ad un numero qualsiasi di particelle.

 

Energia potenziale gravitazionale ed energia di legame

 

Cosa succederebbe se volessimo "rompere" il sistema considerato in precedenza ed allontanare i tre corpi, portandoli a distanza infinita in modo da annullare la reciproca interazione gravitazionale? In tal caso dovremmo fornire al sistema una quantità di energia indentica a quella potenziale ma opposta, e dunque positiva.

 

 E_{legame} = G \frac{m_{1}m_{2}}{r_{12}} + G \frac{m_{1}m_{3}}{r_{13}} + G \frac{m_{2}m_{3}}{r_{23}}

 

Quest'energia è chiamata energia di legame ed è un concetto estremamente utile, poiché può essere esteso ai legami chimici o alle interazioni tra particelle subatomiche.

 

 


 

Non perdetevi la lezione successiva: tratteremo il principio di conservazione dell'energia nei fenomeni gravitazionali. E se foste in cerca di problemi ed esercizi svolti, sappiate che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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