Conservazione dell’energia nei fenomeni gravitazionali

Proseguiamo l'analisi energetica dei fenomeni gravitazionali e occupiamoci della validità del principio di conservazione dell'energia meccanica nella teoria della gravitazione.

 

Nulla di complicato, a dire il vero. Dopo aver spiegato gli effetti del principio di conservazione sul moto dei corpi celesti, ragionando per semplicità su sistemi formati da due corpi, avremo modo di dedicarci ad un'applicazione pratica e di verificare calcolo su calcolo la validità delle considerazioni teoriche. :)

 

Conservazione dell'energia e gravitazione

 

Partiamo da un piccolo riepilogo delle puntate precedenti. La forza gravitazionale, essendo una forza conservativa, è associabile ad un'energia potenziale. È quanto abbiamo imparato a partire dalla lezione sulla forza gravitazionale come forza conservativa.

 

Dalla Dinamica sappiamo però anche che la somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale ci dà l'energia meccanica e che questa, in assenza di forze dissipative (o forze non conservative) come le forze di attrito, si conserva.

 

Il principio di conservazione dell'energia meccanica vale anche per i fenomeni gravitazionali, specie se si parla di corpi celesti il cui moto non è soggetto a forze dissipative.

 

Scriveremo allora

 

 E_{i} = E_{f}

 

o equivalentemente, esprimendo l'energia meccanica come somma dell'energia cinetica e di quella potenziale

 

K_{i} + U_{i} = K_{f} + U_{f}

 

Sostituendo ad ogni forma di energia la sua particolare espressione, otteniamo la seguente equazione:

 

 \frac{1}{2} mv_{i}^{2} - G \frac{mM}{r_{i}^{2}} = \frac{1}{2} mv_{f}^{2} - G \frac{mM}{r_{f}^{2}}

 

La logica del principio di conservazione dell'energia rimane identica anche nel contesto gravitazionale: se una forma di energia diminuisce, l'altra deve crescere della medesima quantità per fare in modo che la loro somma rimanga invariata.

 

Esempio generico

 

Per un'asteroide in avvicinamento alla Terra, la distanza r diminuisce e di conseguenza l'energia potenziale diminuisce. Essendo negativa, essa aumenta in valore assoluto. Di conseguenza l'energia cinetica deve necessariamente crescere per colmare il divario e mantenere costante il valore di energia meccanica.

 

Così, con l'approssimarsi dell'asteroide alla Terra, la sua velocità aumenta (sperando che non arrivi al suolo!).

 

Come è facile intuire il principio ha un effetto del tutto simile a quello di una pallina in caduta libera: scendendo, l'energia potenziale della pallina diminuisce e aumenta l'energia cinetica, e con essa la velocità.

 

Applicazione del principio di conservazione dell'energia cinetica: Sole e cometa di Halley

 

Vediamo un ulteriore esempio, in questo caso un po' più concreto. La cometa di Halley orbita attorno al Sole descrivendo un'ellisse molto schiacciata, pertanto la distanza all'afelio (punto dell’orbita più distante dal Sole) differisce di molto da quella del perielio (punto più vicino). Infatti

 

r_{af}=6,15\cdot 10^{12}\mbox{ m}\ \ \ ;\ \ \ r_{pe}=8,82\cdot 10^{10}\mbox{ m}

 

Sapendo che la velocità con cui la cometa transita all'afelio è di 780 m/s, calcoliamo la velocità al perielio.

 

Svolgimento: ragioneremo in buona approssimazione in un modello semplificato, trascurando qualsiasi forza dissipativa e trascurando l'azione degli altri corpi celesti del Sistema Solare. Possiamo impostare sin da subito l'equazione di conservazione dell'energia uguagliando l'energia all'afelio con quella al perielio. L'interazione gravitazionale in questo caso avviene tra la cometa e il Sole, dunque specifichiamone le rispettive masse nell'equazione.

 

 \frac{1}{2} m_{c}v_{af}^{2} - G \frac{m_{c}M_{S}}{r_{af}} = \frac{1}{2} m_{c}v_{pe}^{2} - G \frac{m_{c}M_{S}}{r_{pe}}

 

La massa della cometa m_c compare in tutti i termini e quindi possiamo semplificarla. Questo significa che il valore di velocità che troveremo è lo stesso per un corpo di massa qualunque che segue la stessa traiettoria della cometa di Halley.

 

 \frac{1}{2} v_{af}^{2} - G \frac{M_{S}}{r_{af}} = \frac{1}{2} v_{pe}^{2} - G \frac{M_{S}}{r_{pe}}

 

A questo punto dobbiamo rigirare l'equazione per ricavare la grandezza che ci interessa, ovvero la velocità al perielio v_{pe}.

 

\\ \frac{1}{2} v_{pe}^{2} = \frac{1}{2} v_{af}^{2} - G \frac{M_{S}}{r_{af}} + G \frac{M_{S}}{r_{pe}}\\ \\ \\ \frac{1}{2} v_{pe}^{2} = \frac{1}{2} v_{af}^{2} + GM_{S} \left(\frac{1}{r_{pe}} - \frac{1}{r_{af}} \right)

 

Moltiplichiamo tutto per 2 ed estraiamo la radice quadrata di entrambi i membri:

 

 v_{pe} = \sqrt{v_{af}^{2} + 2GM_{S} \left(\frac{1}{r_{pe}} -  \frac{1}{r_{af}} \right) }

 

Sapendo che la massa del Sole vale circa 2·1030 kg, abbiamo:

 

\\ v_{pe}=\sqrt{\left(780\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\right)^2+2\cdot \left(6,67\cdot 10^{-11}\ \frac{\mbox{N}\mbox{m}^2}{\mbox{kg}^2}\right) \cdot \left(2 \cdot 10^{30}\mbox{ kg}\right)\left(\frac{1}{8,82 \cdot 10^{10}\mbox{ m}} -  \frac{1}{6,15 \cdot 10^{12}\mbox{ m}}\right)}=\\ \\ =5,46\cdot 10^{4}\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}

 

Come ci aspettavamo, nel punto più vicino al Sole la velocità della cometa è decisamente più alta rispetto a quella che si ha nel punto più lontano.

 

Osservazione finale

 

Se qualcuno si stesse chiedendo: “Ma non avremmo potuto impostare lo svolgimento dell'esercizio mediante la conservazione del momento angolare?” la risposta è sì e, a dirla tutta, avremmo risparmiato un bel po' di conti. Infatti:

 

 L_{af} = L_{pe} \: \: \longrightarrow \: \: r_{af}m_{c}v_{af} = r_{pe}m_{c}v_{pe}

 

Anche qui la massa della cometa si può semplificare:

 

 r_{af}v_{af} = r_{pe}v_{pe}

 

da cui

 

v_{pe}=\frac{r_{af}v_{af}}{r_{pe}}=5,46\cdot 10^4\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}

 

Da notare che, essendo validi entrambi i principi di conservazione, tutti e due devono necessariamente portare al medesimo risultato.

 

 


 

Continuate a leggerci: a seguire una lezione dedicata al moto dei satelliti, e nel frattempo tanti esercizi svolti che potete reperire comodamente usando la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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