Moto dei satelliti

In questa lezione applicheremo buona parte della teoria della gravitazione che abbiamo proposto fin qui nello studio del moto dei satelliti.

 

Per farlo lavoreremo in un contesto semplificato, supponendo che i satelliti si muovano lungo orbite circolari. Ciò che ci interessa a questo livello consiste nel prendere confidenza con le formule e la teoria già studiate e, perché no, acquisire un po' di dimestichezza con i calcoli e le grandezze coinvolte nel moto dei satelliti. ;)

 

Come studiare il moto dei satelliti

 

Se dobbiamo affrontare esercizi sul moto dei pianeti così come sul moto dei satelliti naturali o artificiali, possiamo ricorrere a tutte le leggi che abbiamo visto nella teoria della gravitazione: la legge di gravitazione universale e le tre leggi di Keplero.

 

Quando si studia il moto di un satellite artificiale in orbita attorno alla Terra, ad esempio, è possibile impostare un'equazione che ci permette di rispondere a diverse domande. Il principio di fondo che può sempre essere usato è che, nell'ipotesi semplificata di un'orbita circolare, la forza di gravitazione funge da forza centripeta e dunque le due particolari espressioni di queste forze possono essere uguagliate.

 

 F_{G} = F_{c}

 

Scrivendo le espressioni delle due forze, ricaviamo

 

G\frac{mM}{r^{2}}=ma_{c}

 

dove con m abbiamo indicato la massa del corpo orbitante e con M quella del corpo centrale che genera il campo gravitazionale, all'interno del quale si trova m; con r la distanza tra i centri dei due corpi interagenti; con a_c l'accelerazione centripeta del corpo di massa m.

 

Trattandosi di un moto circolare, siamo autorizzati a rispolverare tutte le equazioni del moto circolare uniforme sulla velocità tangenziale v, la velocità angolare \omega, il periodo (di rivoluzione) T, la frequenza f e l’accelerazione centripeta a_c:

 

\\ v = \frac{2 \pi r}{T}\ \ \ ;\ \ \ \omega = \frac{2 \pi}{T}\\ \\ \\ v = \omega r\ \ \ ;\ \ \ f = \frac{1}{T}\ \ \ ;\ \ \ a_{c} = \frac{v^{2}}{r} = \omega^{2}r

 

con tutte le relative formule inverse.

 

Applicazione: studio del moto di un satellite artificiale intorno alla Terra

 

Supponiamo di voler calcolare la velocità tangenziale con cui si muove la Stazione Spaziale Internazionale (ISS) che orbita ad un’altezza di 400 km rispetto alla superficie terrestre.

 

Svolgimento: impostiamo l'uguaglianza tra la forza gravitazionale e la forza centripeta, esprimendo l'accelerazione centripeta mediante la formula in cui compare la velocità v.

 

 G\frac{m_{iss}M_{T}}{r^{2}} = m_{iss} \frac{v^{2}}{r}

 

Cos'è in questo caso la distanza r? Ricordiamoci sempre che la Terra si comporta dal punto di vista gravitazionale come se tutta la sua massa fosse concentrata in un unico punto posto al suo centro (primo teorema dei gusci sferici). La distanza r è data quindi dalla somma del raggio terrestre R_T e della quota h del satellite rispetto alla superficie terrestre.

 

Attenzione dunque a non commettere l'errore piuttosto comune di considerare la quota rispetto alla superficie come la distanza r da inserire nella legge di gravitazione universale!

 

 G\frac{m_{iss}M_{T}}{(R_{T} + h)^{2}} = m_{iss} \frac{v^{2}}{R_{T} + h}

 

Semplifichiamo la massa della stazione spaziale che compare ad ambo i membri e ricaviamo la velocità v, tenendo presente che R_T\simeq 6370\mbox{ km}.

 

\\ v = \sqrt{\frac{GM_{T}}{R_{T} + h}}=\\ \\ \\ =\sqrt{\frac{\left(6,67 \cdot 10^{-11}\ \frac{\mbox{N}\mbox{m}^2}{\mbox{kg}^2}\right) \cdot \left(5,97 \cdot 10^{24}\mbox{ kg}\right)}{[(6,37 + 0,40) \cdot 10^{6}\mbox{ m}]^2}}=\\ \\ \\ = 7, 67 \cdot 10^{3}\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}=7,67\ \frac{\mbox{km}}{\mbox{s}}

 

Una velocità piuttosto sostenuta! Avremmo potuto anche rispondere alla domanda calcolando il periodo di rivoluzione grazie alla terza legge di Keplero:

 

 T^{2} = \frac{4 \pi^{2}}{GM_{T}} (r_{T} + h)^{3}

 

da cui

 

T = 2 \pi (r_{T} + h) \sqrt{\frac{r_{T} + h}{GM_{T}}} = 5,55 \cdot 10^{3}\mbox{ s}

 

Da qui si può calcolare la velocità tangenziale mediante la relativa definizione:

 

v=\frac{2 \pi (r_{T} + h)}{T} = 7,67\ \frac{\mbox{km}}{\mbox{s}}

 

Un altro esempio: i satelliti geostazionari

 

Esiste poi una particolare categoria di satelliti artificiali, detti satelliti geostazionari, che hanno la caratteristica di compiere un giro attorno alla Terra in 24 ore; in questo modo, i satelliti geostazionari rimangono fissi rispetto ad un punto della superficie come se si trovassero in cima ad un'asta rigida piantata verticalmente nel terreno e lunga centinaia di chilometri.

 

Calcoliamo ad esempio la velocità di rivoluzione di un satellite geostazionario in orbita ad una quota di 1,25·107 m. Poiché ne conosciamo già il periodo di rivoluzione (T = 24 h = 86400 s), possiamo ricavare la velocità tangenziale dalla formula

 

 v = \frac{2 \pi r}{T}

 

per cui

 

\\ v = \frac{2 \pi (r_{T} + h)}{T}=\\ \\ \\ = \frac{2 \pi (6,37 \cdot 10^{6}\mbox{ m}+1,25\cdot 10^7\mbox{ m})}{86400\mbox{ s}}=1,37\cdot 10^3\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}=1,37\ \frac{\mbox{km}}{\mbox{s}}

 

 


 

Qui abbiamo finito. :) Nella lezione successiva tratteremo un'importante caratteristica dei corpi celesti, comunemente denominata velocità di fuga. Se nel frattempo voleste curiosare un po', vi rimandiamo ad un interessante tool di Astronomia online che fornisce una rappresentazione per le orbite dei corpi celesti; e come al solito vi suggeriamo di fare buon uso della barra di ricerca per consultare tantissimi esercizi risolti e spiegati nel dettaglio! ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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