Velocità di fuga

La velocità di fuga di un corpo celeste è la velocità iniziale necessaria affinché un qualsiasi oggetto, lanciato dalla superficie, riesca a sfuggire al suo campo gravitazionale. È un valore che dipende esclusivamente dalla massa e dal raggio del corpo celeste.

 

L'analisi energetica dei fenomeni gravitazionali trova come prima e più semplice applicazione il calcolo della velocità di fuga. Qui di seguito spiegheremo dapprima la nozione di velocità di fuga, per poi passare a ricavarne la formula e ad analizzarla nel dettaglio.

 

Definizione di velocità di fuga e spiegazione

 

Per introdurre la definizione di velocità di fuga conviene partire da un semplice esempio. Se lanciamo una pallina da tennis verticalmente verso l'alto con una certa velocità iniziale, essa si muoverà di moto uniformemente accelerato (o meglio, decelerato) sotto l'effetto della forza di gravità che la tira verso il basso, fino a quando non raggiungerà la massima altezza e avrà per un instante velocità nulla, dopodiché ricomincerà a cadere.

 

Qualunque oggetto ci circondi è immerso nel campo gravitazionale terrestre ed interagisce con esso. Il frutto di tale interazione è l'azione della forza di attrazione gravitazionale che porta inesorabilmente qualunque corpo dotato di massa a muoversi verso il centro della Terra.

 

Sappiamo però che l'altezza raggiunta dalla pallina dipende dalla velocità iniziale che le viene impressa: maggiore è la velocità iniziale, maggiore sarà l'altezza raggiunta. La domanda allora è: esiste un valore di velocità iniziale tale per cui la pallina andrebbe così in alto da non tornare più? La risposta è sì e tale valore di velocità viene chiamato velocità di fuga.

 

Il principio di fondo è che, considerando ad esempio il caso del pianeta Terra, l'oggetto lanciato deve essere in grado di sfuggire dal campo gravitazionale terrestre in modo tale che la Terra, con la sua forza di attrazione gravitazionale, non sia più in grado di riattrarlo indietro. Questo principio vale per qualsiasi corpo celeste.

 

Sappiamo però che il campo gravitazionale ha un raggio d'azione infinito, per cui un qualsiasi corpo per sfuggirgli dovrebbe arrivare ad una distanza infinita con velocità nulla. Essendo soggetto ad una forza, il moto del corpo è accelerato ed in particolare con accelerazione negativa, dal momento che la forza gravitazionale è attrattiva: l'oggetto lanciato quindi rallenta sempre di più fino a fermarsi a distanza inifinita.

 

Formula per calcolare la velocità di fuga

 

Per scrivere la formula della velocità di fuga immaginiamo di lanciare un corpo da un generico corpo celeste (una stella, un pianeta, un satellite...) e consideriamo due momenti: quello iniziale, in cui l'oggetto parte dalla superficie terrestre con velocità iniziale vfuga, e quello finale, in cui l'oggetto ha raggiunto una distanza infinita ed ha velocità nulla.

 

Con queste premesse, impostiamo la legge di conservazione dell'energia nel caso dei fenomeni gravitazionali:

 

 K_{i} + U_{i} = K_{f} + U_{f}

 

ed indicando con m,M,r,r_\infty rispettivamente la massa del corpo, la massa del corpo celeste, il raggio del corpo celeste e la distanza infinita

 

\frac{1}{2}mv_{fuga}^{2} - G \frac{mM}{r} = \frac{1}{2}mv_{f}^{2} - G \frac{mM}{r_{\infty}}

 

L'energia cinetica finale è nulla perché è nulla la velocità; ricordiamo poi dalla lezione sull'espressione generale dell'energia potenziale gravitazionale che essa è nulla per distanze infinite, quindi:

 

 \frac{1}{2}mv_{fuga}^{2} - G \frac{mM}{R} = 0

 

Portiamo il secondo addendo a destra dell'uguale

 

\frac{1}{2}mv_{fuga}^{2} = G \frac{mM}{R}

 

e semplifichiamo la massa m dell'oggetto lanciato. Così facendo ricaviamo la formula della velocità di fuga:

 

 v_{fuga} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}

 

Com'era facilmente intuibile la velocità di fuga non dipende dalla massa del corpo che viene lanciato. Inoltre, a parità di raggio ad una massa maggiore corrisponde una velocità di fuga maggiore; di contro, a parità di massa ad un raggio maggiore corrisponde una velocità di fuga minore.

 

Come valore di esempio possiamo calcolare la velocità di fuga terrestre sostituendo la massa della Terra ed il raggio terrestre

 

 v_{fuga,T} = \sqrt{\frac{2GM_{T}}{R_{T}}} = 1,12 \cdot 10^{4} \ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}

 

ossia

 

v_{fuga,T}= 11,2 \ \frac{\mbox{km}}{\mbox{s}}

 

Se volete che la vostra pallina da tennis non ritorni mai più indietro, dovete spararla via con un cannone potentissimo che le imprima una velocità iniziale di oltre 11 chilometri al secondo!

 

Curiosità: questo valore di velocità, per noi estremamente alto, è confrontabile con la velocità di agitazione termica delle molecole dell'atmosfera (di cui parleremo trattando la teoria cinetica dei gas), in particolare per i componenti più leggeri come l'idrogeno e l'elio. È per questo motivo che la nostra atmosfera ne è praticamente priva: queste molecole si agitano con velocità medie simili a quella di fuga, per cui riescono facilmente a lasciare l'atmosfera e a perdersi nello spazio esterno.

 

Se calcoliamo la velocità di fuga della Luna con i dati relativi alla massa lunare (7,35·1022 kg) e al suo raggio (1,74·106 m), otteniamo il seguente valore:

 

 v_{fuga,L} = \sqrt{\frac{2GM_{L}}{R_{L}}} = 2,37 \cdot 10^{3}\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}

 

vale a dire

 

v_{fuga,L}=2,37\ \frac{\mbox{km}}{\mbox{s}}

 

Un valore quasi cinque volte più piccolo di quella terrestre. Sfuggire al campo gravitazionale lunare è decisamente più facile.

 

 


 

La lezione successiva è dedicata ad un argomento estremamente affascinante: i buchi neri. Se volete approfondire lo studio della velocità di fuga e perché no, curiosare un po', sappiate che nella sezione di Astronomia online avete a disposizione un tool per la velocità di fuga di pianeti e stelle. Oltre a questo tantissimi esercizi risolti e problemi svolti che potete reperire comodamente con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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