Orbite dei corpi celesti e tipi di traiettorie

Come stabilito dalla prima legge di Keplero le traiettorie dei pianeti del Sistema Solare sono ellittiche. Tale proprietà vale per qualsiasi corpo celeste? Più in generale, come si determina la traiettoria di un corpo celeste qualsiasi e quali grandezze dobbiamo analizzare per individuare il tipo di traiettoria?

 

In questa lunga e densissima lezione, dedicata ai soli studenti universitari, vedremo che le traiettorie dei corpi celesti sono coniche e che analizzandone l'energia è possibile stabilre se esse siano ellittiche, paraboliche od iperboliche.

 

Come determinare la traiettoria di un corpo celeste

 

Abbiamo già verificato che i principi della Dinamica di Newton ci permettono di dare una giustificazione teorica per le leggi di Keplero, ma lo abbiamo sempre fatto nell'ipotesi di una traiettoria circolare perché tale presupposto semplifica di molto la trattazione.

 

Ora vogliamo dimostrare che sotto l'effetto della forza di gravitazione universale, la quale è una forza centrale dipendente dall'inverso del quadrato della distanza, l'orbita di un pianeta è un'ellisse e che, più in generale, l'orbita di un corpo celeste attorno ad un altro è una conica.

 

Premettiamo brevemente che una conica (ellisse, iperbole, parabola) è descritta in matematica come il luogo geometrico dei punti (x,y) tali per cui il rapporto tra la distanza da un punto, detto fuoco, e la distanza da una retta, detta direttrice, è pari ad una costante positiva \varepsilon chiamata eccentricità.

 

In particolare se si sceglie di usare un sistema di riferimento in coordinate polari, allora le coordinate sono (r,\theta).

 

 

Traiettoria corpi celesti

 

 

Con r indichiamo la distanza del punto rispetto al fuoco e con \theta l'angolo che r forma con la direzione perpendicolare alla direttrice. L'equazione di una conica in coordinate polari è della forma

 

 \frac{1}{r} = \frac{1}{\varepsilon d} - \frac{1}{d} \cos(\theta)

 

Si distinguono tre casi:

 

- se \varepsilon<1 si ottiene un'ellisse;

 

- se \varepsilon=1 si ha una parabola;

 

- se \varepsilon>1 si ottiene un'iperbole.

 

Andrebbe considerato anche il caso limite \varepsilon=0 in cui si ottiene una circonferenza, ma essa non è altro che un caso particolare dell'ellisse (asse maggiore e asse minore di pari lunghezza).

 

Premesso ciò, consideriamo due corpi che interagiscono gravitazionalmente; entrambi saranno soggetti ad una forza, che dal secondo principio della Dinamica potremo esprimere nella forma

 

 \vec{F} = m \vec{a}_{m}\ \ \ ;\ \ \ \vec{F} = - M \vec{a}_{M}

 

Il segno meno della seconda forza si deve al principio di azione-reazione: i due corpi sono soggetti a forze uguali e contrarie. L'accelerazione cui è soggetto il corpo di massa m rispetto a quello di massa M è:

 

 \vec{a} = \vec{a}_{m} + \vec{a}_{M} = \vec{F} \left( \frac{1}{m} - \frac{1}{M} \right) = \vec{F} \left( \frac{M - m}{mM} \right)

 

Di conseguenza, la forza agente su entrambi i corpi è data da:

 

 \vec{F} = \left( \frac{mM}{M - m} \right) \vec{a} = \mu \vec{a}

 

dove la grandezza \mu

 

\mu:=\frac{mM}{M - m}

 

viene detta massa ridotta del sistema. Quindi il moto relativo di due punti che interagiscono tra di loro con una certa forza \vec{F} è uguale a quello di un punto di massa pari alla massa ridotta e sottoposto alla medesima forza \vec{F}.

 

Visto che lavorando con la forza gravitazionale, possiamo scrivere:

 

 \vec{F} = - G \frac{mM}{r^{2}} \vec{u}_{r}

 

dove \vec{u}_r è il versore lungo la direzione di r. Per una forza centrale è possibile scrivere l'accelerazione in coordinate polari secondo la cosiddetta formula di Binet (che non dimostriamo):

 

 \vec{a} = - \frac{L^{2}}{m^{2}r^{2}} \left[ \frac{dr^{2}}{d \theta^{2}} \left( \frac{1}{r} \right) + \frac{1}{r} \right] \vec{u}_{r}

 

dove L indica come sempre il momento angolare.

 

Tornando allora alla formula della forza in funzione della massa ridotta, vale a dire \vec{F}=\mu\vec{a}, abbiamo:

 

 - G \frac{mM}{r^{2}} \vec{u}_{r} = - \mu \frac{L^{2}}{\mu^{2}r^{2}} \left[ \frac{dr^{2}}{d \theta^{2}} \left( \frac{1}{r} \right) + \frac{1}{r} \right] \vec{u}_{r}

 

Riordinando l'equazione e considerando solo i moduli dei vettori, si ottiene la seguente equazione differenziale:

 

 GmM = \frac{L^{2}}{\mu} \left[ \frac{dr^{2}}{d \theta^{2}} \left( \frac{1}{r} \right) + \frac{1}{r} \right]

 

o, in forma canonica

 

\frac{dr^{2}}{d\theta^{2}} \left( \frac{1}{r} \right) + \frac{1}{r} = \frac{G \mu m M}{L^{2}}

 

La soluzione ci dà la posizione r=r(\theta) in funzione dell'angolo \theta, ossia la traiettoria descritta dal corpo m rispetto a M. Ecco come si presenta la soluzione:

 

 \frac{1}{r} = \frac{G \mu mM}{L^{2}} + A \cos(\theta)

 

Come potete vedere, la funzione che descrive la traiettoria ha la stessa identica struttura dell'equazione generale delle coniche che abbiamo scritto all'inizio. La forza di gravitazione ci ha portato a dire che il corpo di massa m rispetto a quello di massa M descrive una traiettoria data da una conica. 

 

Tipo di orbita, momento angolare ed energia

 

Fin qui abbiamo compreso che le traiettorie dei pianeti e dei satelliti sono coniche, ma ciò non significa che siano necessariamente ellittiche: potrebbe anche essere paraboliche o iperboliche.

 

Confrontiamo l'equazione generale di una conica in coordinate polari con l'equazione ottenuta in precedenza:

 

\\ \frac{1}{r} = \frac{1}{\varepsilon d} - \frac{1}{d} \cos(\theta)\\ \\ \\ \frac{1}{r} = \frac{G \mu mM}{L^{2}} + A \cos(\theta)

 

Dal confronto emerge che:

 

 L^{2} = G \mu m M \varepsilon d

 

Il momento angolare del corpo orbitante dipende dai parametri \varepsilon,d dell'orbita; una volta fissati questi parametri, il momento angolare diventa una costante, come già sapevamo.

 

Ora proviamo invece a ricavare l'energia meccanica in funzione dei parametri dell'orbita, dove nell'energia cinetica usiamo la massa ridotta \mu del sistema.

 

 E = \frac{1}{2} \mu v^{2} - G \frac{mM}{r}

 

Visto che la forza gravitazionale è una forza centrale, il moto avviene sicuramente su un piano (come abbiamo visto nella lezione sulle forze centrali). Ciò ci permette di riscrivere la velocità in funzione delle coordinate polari.

 

 v = \sqrt{ \left(\frac{dr}{dt} \right)^{2} +r^{2} \left( \frac{d \theta}{dt}  \right)^{2}}

 

Da cui possiamo ricavarne il quadrato

 

v^{2} =  \left(\frac{dr}{dt} \right)^{2} +r^{2} \left( \frac{d \theta}{dt}  \right)^{2}

 

Dunque, tornando all'energia, abbiamo

 

 E = \frac{1}{2} \mu \left[\left(\frac{dr}{dt} \right)^{2} + r^{2} \left( \frac{d \theta}{dt}  \right)^{2}\right]- G \frac{mM}{r}

 

ossia

 

E= \frac{1}{2} \mu \left(\frac{dr}{dt} \right)^{2} + \frac{1}{2} \mu r^{2} \left( \frac{d \theta}{dt}  \right)^{2} - G \frac{mM}{r}

 

Ora dobbiamo trasformare questa formula facendo alcuni passaggi. Innanzitutto ricordiamoci che il momento angolare può essere riscritto nella seguente forma

 

 L = \mu rv = \mu r^{2} \omega = \mu r^{2} \frac{d \theta}{dt}\ \ \ (\bullet)

 

Poi possiamo ricavare il termine \frac{dr}{dt} differenziando l'equazione generale delle coniche in coordinate polari:

 

 \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{r} \right) = - \frac{1}{r^{2}} \frac{dr}{dt} = \frac{\sin(\theta)}{d} \frac{d \theta}{dt}

 

da cui

 

\frac{dr}{dt} = - \frac{r^{2} \sin(\theta)}{d} \frac{d \theta}{dt}

 

Eleviamo l'ultima equazione al quadrato:

 

 \left (\frac{dr}{dt} \right)^{2} = \frac{r^{4} \sin^{2}(\theta)}{d^{2}} \left( \frac{d \theta}{dt} \right)^{2}

 

Dalla formula del momento angolare (\bullet) ricaviamo:

 

\\ L = \mu r^{2} \frac{d \theta}{dt}\\ \\ \\ L^{2} = \mu^{2} r^{4} \left( \frac{d \theta}{dt} \right)^{2}\\ \\ \\  r^{4} \left( \frac{d \theta}{dt} \right)^{2} = \frac{L^{2}}{\mu^{2}}

 

Di conseguenza:

 

 \left (\frac{dr}{dt} \right)^{2} = \frac{ \sin^{2} \theta \: L^{2}}{d^{2} \mu^{2}}

 

A questo punto siamo pronti per poter riscrivere il primo termine dell'equazione dell'energia:

 

 \frac{1}{2} \mu \left(\frac{dr}{dt} \right)^{2} = \frac{1}{2} \mu \frac{ \sin^{2} \theta \: L^{2}}{d^{2} \mu^{2}} = \frac{1}{2} \frac{ \sin^{2}(\theta) L^{2}}{d^{2} \mu}

 

Trasformiamo anche il secondo termine dell'equazione dell'energia, facendo comparire il momento angolare:

 

 \frac{1}{2} \mu r^{2} \left( \frac{d \theta}{dt}  \right)^{2} = \frac{1}{2} \frac{L^{2}}{\mu r^{2}}

 

Non ci resta che trasformare il terzo temine dell'energia e per farlo rimaneggiamo l'equazione che abbiamo trovato all'inizio per il quadrato del momento angolare.

 

 L^{2} = G \mu m M \varepsilon d \ \ \ \to\ \ \ GmM = \frac{L^{2}}{\mu \varepsilon d}

 

In questo modo il terzo termine dell'equazione dell'energia diventa:

 

 - G \frac{mM}{r} = - \frac{L^{2}}{\mu \varepsilon d r}

 

Ora possiamo riscrivere l'intera equazione dell'energia:

 

 E = \frac{1}{2} \frac{ \sin^{2} (\theta) L^{2}}{d^{2} \mu} + \frac{1}{2} \frac{L^{2}}{\mu r^{2}} - \frac{L^{2}}{\mu \varepsilon d r}

 

Trasformando i termini \frac{1}{r},\ \frac{1}{r^2} mediante l'equazione generale delle coniche, e utilizzando l'equazione del quadrato del momento angolare, è possibile riscrivere l'energia in funzione dei parametri dell'orbita \varepsilon,d e in una forma più compatta.

 

 E = G \frac{mM}{2d \varepsilon} (\varepsilon^{2} - 1)

 

È stato un conto lungo e impegantivo, ma siamo arrivati ad un risultato che ci permette di capire una cosa importante. Quando l'energia del sistema è negativa, allora l'eccentricità deve essere minore di 1 (\varepsilon<1) e ciò significa che il corpo di massa m descrive un orbita ellittica. Quando l'energia è nulla, allora \varepsilon=1 e l'orbita è parabolica e infine, quando l'energia è positiva, allora \varepsilon>1 e l'orbita è iperbolica.

 

È dunque l'energia del sistema a determinare il tipo di traiettoria seguita, ad esempio da un corpo celeste attorno al Sole. Il sistema Terra-Sole è legato è questo significa che l'energia potenziale è in valore assoluto maggiore di quella cinetica; questo fa sì che l'energia totale sia negativa, pertanto l'orbita della Terra intorno al Sole è ellittica. Il fatto che l'energia sia negativa significa che la Terra non ha abbastanza energia cinetica (e quindi velocità) per poter sfuggire al campo gravitazionale solare (per nostra fortuna!).

 

Per un corpo in orbita parabolica invece l'energia cinetica e quella potenziale si equivalgono perfettamente, cosicché l'energia totale è nulla. Se consideriamo una cometa, per esempio, essa curverebbe la propria traiettoria in prossimità del Sole per poi allontanarsi descrivendo una parabola.

 

Un'orbita iperbolica è invece descritta da corpi la cui energia cinetica è maggiore in valore assoluto di quella potenziale; la cometa sarebbe così lanciata ad una velocità tale per cui il campo gravitazionale solare non sarebbe in grado di trattenerla e più la velocità è alta, più l'orbita è un'iperbole prossima ad una retta, cioè un'iperbole con un alto valore di eccentricità.

 

 


 

Siamo in dirittura d'arrivo! Nella lezione successiva - l'ultima del capitolo dedicato alla Gravitazione Universale, tratteremo il teorema di Gauss per il campo gravitazionale. Nel caso voleste curiosare un po' vi rimandiamo al tool di Astronomia online dedicato alle orbite. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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Tags: energia e traiettorie di pianeti e satelliti - come determinare il tipo di orbita di un pianeta o di un satellite.