Teorema di Gauss per il campo gravitazionale

Il teorema di Gauss per il campo gravitazionale è un'applicazione particolare del più generale teorema della divergenza, detto anche teorema del flusso o teorema di Gauss.

 

In questa lezione presentiamo il teorema di Gauss applicato al campo gravitazionale. Il teorema generale e le implicazioni che ne derivano sono particolarmente importanti ed utili per lo studio dei fenomeni elettrici, ma qui li vogliamo trattare nel contesto della gravitazione.

 

Esattamente come nel caso della precedente lezione, anche qui ci rivolgiamo esclusivamente agli studenti universitari (nella fattispecie ≥ Analisi 2).

 

Premesse per il teorema di Gauss nel caso gravitazionale

 

Prima di tutto, è necessario definire il concetto di campo vettoriale, cioè una funzione che ad ogni punto dello spazio associa un vettore. Un campo vettoriale può essere definito in astratto anche in più di 3 dimensioni, dunque come funzione F:\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}^N, ma nel nostro caso dovremo lavorare nello spazio tridimensionale e dunque considerare campi vettoriali del tipo F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3.

 

Come sappiamo già un campo gravitazionale è un perfetto esempio di campo vettoriale.

 

Ora passiamo ad introdurre il concetto di flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Per quanto si possa considerare un qualsiasi tipo di superficie, per i nostri scopi faremo esclusivo riferimento a superfici tridimensionali e chiuse.

 

Supponiamo di avere n masse racchiuse all'interno di una superficie tridimensionale chiusa e consideriamo un pezzetto infinitesimo di superficie dS. Definiamo anche il versore normale alla superficie \vec{u}_N come il vettore perpendicolare alla superficie dS ed orientato verso l'esterno.

 

 

Concetto di flusso di un campo vettoriale

 

 

Si definisce flusso infinitesimo del campo vettoriale \vec{F} attraverso la superficie dS, e si indica con d\Phi, la quantità scalare:

 

 d \Phi = \vec{F} \cdot \vec{u}_{N}dS

 

dove \cdot denota il prodotto scalare.

 

Integrando il flusso infinitesimo su tutta la superficie otteniamo il flusso del campo vettoriale attraverso la superficie

 

 \Phi = \int_{S}{d \Phi} = \int_{S}{ \vec{F} \cdot \vec{u}_{N} dS }

 

Ovviamente la precedente definizione può essere contestualizzata nel caso dei campi gravitazionali. Possiamo così definire il concetto di flusso di un campo gravitazionale

 

 \Phi = \int_{S}{d \Phi} = \int_{S}{ \vec{g} \cdot \vec{u}_{N}dS }

 

Con \vec{g} indichiamo il vettore campo gravitazionale generato da tutte le masse presenti, sia quelle interne alla superficie, sia quelle esterne.

 

In parole povere il flusso di un campo gravitazionale misura "quanto" campo gravitazionale attraversa una certa superficie.

 

Teorema di Gauss (teorema della divergenza) per i campi gravitazionali

 

Nelle lezioni di Analisi 2 abbiamo enunciato e spiegato il teorema della divergenza (detto anche teorema del flusso o teorema di Gauss), un importante teorema che sotto opportune ipotesi permette di calcolare il flusso di un qualsiasi campo vettoriale attraverso una superficie chiusa. Nel caso gravitazionale il teorema di Gauss assume una forma specifica e particolare, e afferma che il flusso del campo \vec{g} attraverso una superficie chiusa è direttamente proporzionale alla somma delle masse interne alla superficie, secondo la relazione

 

 \Phi = -4 \pi G \sum_{i = 1}^{n}{m_{i}}

 

Nel caso continuo, detta M la massa interna alla superficie, la precedente formula diventa

 

 \Phi = -4 \pi G M

 

Le masse che si trovano al di fuori della superficie, pur avendo un proprio campo gravitazionale, non contribuiscono al calcolo del flusso attraverso la superficie S. Onde evitare di appesantire troppo la lezione omettiamo la dimostrazione del teorema.

 

Conseguenze del teorema di Gauss per il campo gravitazionale

 

Proviamo ora a vedere alcune interessanti conseguenze del teorema.

 

 

1) Campo gravitazionale di una sfera cava

 

Consideriamo una sfera cava priva di spessore di massa m e raggio R. ed un punto P esterno ad essa ad una distanza r dal centro, in cui vogliamo calcolare il valore del campo \vec{g}(r).

 

Sulle orme del primo teorema dei gusci e del secondo teorema dei gusci, se consideriamo due masse infinitesime dm simmetriche, esse creeranno in P due campi uguali in modulo e tali per cui la somma delle loro componenti verticali sia nulla, cosicché dovremo solamente sommare le componenti orizzontali dirette verso il centro della sfera.

 

 

Teorema di Gauss e sfera cava

 

 

Possiamo ovviamente esprimere il campo gravitazionale nella forma

 

 \vec{g}(r)= - g(r) \vec{u}_{r}

 

dove g(r) denota il modulo del campo gravitazionale e \vec{u}_r è il versore radiale uscente dal centro della sfera. Si noti che il verso del campo vettoriale punta verso il centro della sfera.

 

Per ricavare g(r) sfruttiamo la nozione di flusso e calcoliamo il flusso \Phi del campo attraverso la superficie sferica di raggio r. Se applichiamo la definizione di flusso del campo gravitazionale, otteniamo:

 

\\ \Phi(r) =\int_{S}{ \vec{g}(r) \cdot \vec{u}_{N}dS }=\\ \\ \\ =\int_{S}{- g(r) \vec{u}_{r} \cdot \vec{u}_{N} dS } =

 

e poiché g(r) è costante sulla superficie sferica (stesso raggio), possiamo scrivere

 

=- g(r) \int_{S}{dS}=

 

In particolare il prodotto scalare è uguale a 1 perché si tratta di due versori paralleli e concordi: infatti il campo è radiale e la sua direzione data da \vec{u}_r è sempre perpendicolare alla superficie in ogni punto e quindi parallelo al vettore \vec{u}_N.

 

L'integrale rimanente è banale da calcolare, e non dimentichiamoci che S=4\pi r^2 è la formula per la superficie della sfera

 

=-g(r)S=-g(r)\cdot 4\pi r^2

 

Abbiamo così ricavato la formula per il flusso del campo gravitazionale attraverso la superficie sferica di raggio r

 

 \Phi(r) = - 4\pi r^2g(r)

 

Riprendiamo la formula del teorema di Gauss tenendo presente che tutta la massa è contenuta all'interno della superficie

 

\Phi(r) = -4 \pi G m

 

ed uguagliamo le due espressioni

 

 - 4 \pi r^{2}g(r) = -4 \pi Gm

 

da cui ricaviamo la formula per il modulo g(r) del campo gravitazionale

 

g(r) = G \frac{m}{r^{2}}\ \ \ \mbox{ con }r>R

 

o, in termini vettoriali, il campo gravitazionale generato da una distribuzione sferica priva di spessore di massa m a distanza r>R dal centro

 

\vec{g}(r) = -G \frac{m}{r^{2}}\vec{u}_r\ \ \ \mbox{ con }r>R

 

Da qui si deduce facilmente che una distribuzione sferica di massa crea lo stesso campo gravitazionale di un punto materiale della stessa massa, come se l'intera massa fosse concentrata nel suo centro. In altre parole il primo teorema del guscio sferico non è altro che una conseguenza del teorema di Gauss per il campo gravitazionale.

 

Visto che l'interno della superficie sferica è vuoto, lì il campo gravitazionale è nullo; se infatti consideriamo una superficie sferica di raggio r<R, la massa interna a tale superficie è nulla. Per il teorema di Gauss è nullo anche il flusso e ciò implica che sia nullo il campo (conclusione in accordo con il secondo teorema dei gusci).

 

g(r)=0\ \ \ \mbox{ con }r<R

 

Il grafico del modulo del campo gravitazionale in funzione della distanza r dal centro della sfera appare così:

 

 

Grafico campo gravitazionale sfera cava

 

 

Per r=R, cioè quando ci troviamo sulla superficie, il campo è discontinuo perché passa da un valore nullo al suo valore massimo.

 

 

2) Campo gravitazionale di una sfera piena

 

Consideriamo ora una sfera piena con distribuzione di massa omogenea (quindi densità costante in ogni punto). Vogliamo sfruttare la nozione di flusso per determinare il campo gravitazionale \vec{g}(r) al variare della distanza r dal centro.

 

 

Campo gravitazionale con una sfera piena

 

 

Se vogliamo sapere come si comporta il campo gravitazionale all'interno della sfera, consideriamo una superficie sferica di raggio r<R e calcoliamo la massa contenuta al suo interno.

 

Grazie all'ipotesi di omogeneità

 

 \rho_{r} = \rho_{R}

 

Scriviamo esplicitamente le espressioni delle densità

 

\frac{m_{r}}{V_{r}} = \frac{m}{V}

 

e ricaviamo la massa

 

\frac{m_{r}}{\frac{4}{3} \pi r^{3}} = \frac{m}{\frac{4}{3} \pi R^{3}} \ \ \ \to\ \ \ m_{r} = \frac{m}{R^{3}} r^{3}

 

Calcoliamo il flusso attraverso la sfera di raggio r interna a quella di raggio R mediante la definizione. Omettiamo i calcoli perché del tutto analoghi rispetto a quanto visto nell'applicazione 1)

 

\Phi(r) = -4 \pi r^{2} g(r)

 

Successivamente riprendiamo la formula fornita dal teorema di Gauss e consideriamo solamente la massa contenuta all'interno della superficie

 

\Phi(r) = -4 \pi G m_{r} = -4 \pi G  \frac{m}{R^{3}} r^{3}

 

ed eguagliamo le due espressioni per trovare il campo

 

-4 \pi r^{2} g(r) = -4 \pi G  \frac{m}{R^{3}} r^{3}

 

Abbiamo così il modulo del campo gravitazionale ad una distanza r dal centro

 

g(r) = G \frac{m}{R^{3}} r \ \ \ \mbox{ con }r>0

 

o, in termini vettoriali

 

\vec{g}(r) =- G \frac{m}{R^{3}} r\vec{u}_r \ \ \ \mbox{ con }r>0

 

Il campo all'interno della sfera piena cresce linearmente con la distanza dal centro fino a raggiungere il valore massimo sulla superficie. Al di fuori della sfera, il campo è uguale a quello che si avrebbe se la massa della sfera fosse concentrata tutta nel suo centro.

 

 

Grafico del campo gravitazionale per una sfera piena

 

 


 

Con questa lezione si conclude il capitolo dedicato alla teoria della gravitazione. Alla prossima! ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

Lezione precedente


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