Legge di gravitazione universale

La legge di gravitazione universale, formulata da Isaac Newton, descrive l'interazione tra i corpi celesti e stabilisce che qualsiasi corpo nell'universo, inteso come punto materiale, attrae ogni altro corpo con una forza direttamente proporzionale al prodotto delle masse e inversamente proporzionale al quadrato delle distanze.

 

In questa lezione presenteremo l'enunciato e la formula della legge di gravitazione universale e la analizzeremo sotto ogni punto di vista, mettendone in luce il significato fisico e scrivendone esplicitamente le formule inverse.

 

Enunciato e formula della legge di gravitazione universale

 

La legge di gravitazione universale introduce una delle quattro grandi forze fondamentali della natura: la forza di gravitazione universale, detta anche forza di attrazione gravitazionale. Scoperta da Newton (in onore del quale viene anche detta legge di gravitazione di Newton), si tratta di una forza a distanza sempre attrattiva, che si esercita tra qualunque coppia di corpi dotati di massa posti ad una certa distanza.

 

La formula della legge di gravitazione universale esprime il modulo della forza di interazione nel seguente modo:

 

F=G\frac{m_1m_2}{r^2}

 

dove m_1,\ m_2 indicano le masse dei due corpi; r indica la distanza tra i centri dei due corpi e la lettera G rappresenta la costante gravitazionale (detta anche costante di gravitazione universale), il cui valore è dato da

 

G=6,67\cdot 10^{-11}\ \frac{\mbox{N}\cdot \mbox{m}^2}{\mbox{kg}^2}

 

Significato della legge di gravitazione universale

 

Vediamo di esporre, con ordine, tutte le informazioni relative alla legge di gravitazione universale ed al suo significato.

 

1) Ad un'analisi immediata della legge di gravitazione universale risulta che la forza di attrazione gravitazionale è direttamente proporzionale al prodotto delle due masse ed inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza r.

 

Questo significa che, a parità di distanza, se si raddoppia una delle due masse, la forza raddoppia; se manteniamo invece costanti le masse e raddoppiamo la loro distanza, allora la forza si riduce di un quarto; se la distanza triplica, la forza diventa nove volte più piccola, e così via.

 

 

2) Per quanto riguarda invece la costante di gravitazione universale, si tratta di una costante valida per qualunque coppia di particelle che si attraggono gravitazionalmente ed è valida ovunque nell'Universo, indipendentemente dal luogo e dalle condizioni considerate. È per questo motivo che la costante di gravitazione viene definita universale. Ad oggi infatti non c'è nessuna ragione di credere che le leggi delle fisica scoperte su un piccolo pianeta azzurro in un angolo dell'Universo non debbano valere anche altrove.

 

In Astrofisica dunque la legge di gravitazione universale che Newton formulò, a partire dalle conoscenze acquisite sul nostro sistema solare, è applicata anche per sistemi stellari e galassie lontane milioni o miliardi di anni luce da noi.

 

 

3) La legge di gravitazione universale è valida per corpi puntiformi (i soliti punti materiali che ormai conosciamo molto bene dalla meccanica classica). Questo però non è di certo un limite nell'applicazione della formula; vediamo di capirne il motivo.

 

Se vogliamo calcolare la forza con la quale interagiscono gravitazionalmente la Terra e il Sole, secondo una scala umana questi corpi celesti non si possono di certo considerare puntiformi. Se si tiene presente la loro distanza (150 milioni di chilometri) e la si confronta con i loro raggi (raggio del Sole 0,69 milioni di km - raggio della Terra 0,006 milioni di km), allora anche i corpi celesti possono essere considerati puntiformi senza alcun problema.

 

Ben diversa è la situazione in cui dobbiamo calcolare con quale forza interagiscono la Terra e un'automobile parcheggiata sotto casa: in questo caso considerare la Terra puntiforme è un'approssimazione quantomeno eccessiva!

 

Bisogna però dire che esiste la possibilità di dimostrare (e lo faremo) che si può immaginare tutta la massa di un corpo esteso sferico come concentrata nel suo centro di massa, che diventa anche il punto di applicazione della forza. Tra due corpi estesi qualunque, che non si possono approssimare a punti materiali, la forza di attrazione gravitazionale si esercita lungo la linea congiungente i centri di massa dei due corpi.

 

 

4) Aggiungiamo ancora che la forza di attrazione gravitazionale è una forza che si esercita a distanza e non necessita di alcun contatto tra i corpi né la presenza di un mezzo tra di essi.

 

 

5) Infine, la forza espressa dalla legge di interazione gravitazionale ha un raggio di azione infinito. Ad esempio, potete allontanarvi dalla Terra quanto volete, potete raggiungere anche un'altra galassia se ne siete capaci, ma ovunque siate risenterete sempre la forza di attrazione gravitazionale terrestre. Se siete molto lontani, il suo valore sarà piccolissimo, praticamente nullo, ma per quanti zeri possa avere dopo la virgola, il suo valore non sarà mai uno zero esatto. ;)

 
 

Legge di gravitazione universale in forma vettoriale

 

6) Poiché la forza è una grandezza vettoriale, ha senso domandarsi quale sia la la formula vettoriale della legge di gravitazione universale. Eccola

 

\vec{F}_{12}=-G\frac{m_1m_2}{|\vec{r}_{12}|^2}\cdot \frac{\vec{r}_{12}}{|\vec{r}_{12}|}

 

dove \vec{F}_{12} indica la forza gravitazionale esercitata dal corpo 1 sul corpo 2 ed |\vec{r}_{12}| indica il modulo del vettore \vec{r}_{12}. Per chi ha dimestichezza con i vettori, il rapporto \frac{\vec{r}_{12}}{|\vec{r}_{12}|} individua il versore di \vec{r}_{12} (in caso di dubbi, come normalizzare un vettore).

 

Dalla precedente formula ed in particolare dal segno meno si evince che la forza gravitazionale è attrattiva ha direzione coincidente con la linea congiungente i due corpi. Ognuno dei due corpi esercita la medesima forza sull'altro: ad esempio, la Terra attira a sé la Luna con la stessa forza con cui la Luna attira a sé la Terra, per via del terzo principio della dinamica.

 

Conseguentemente è immediato intuire che la forza esercitata dal corpo 2 sul corpo 1 sarà data da

 

\vec{F}_{21}=-G\frac{m_1m_2}{|\vec{r}_{21}|^2}\cdot \frac{\vec{r}_{21}}{|\vec{r}_{21}|}

 

dove chiaramente |\vec{r}_{21}|=|\vec{r}_{12}|, dato che i due vettori coincidono a meno del verso.

 

 

7) La legge di gravitazione universale ci permette di calcolare la forza che si esercita soltanto tra due corpi. Se volessimo ad esempio sapere la forza alla quale è soggetta la Terra per via della presenza del Sole e della Luna, dovremmo ragionare con i vettori e considerare le forze separatemente, per ciascuna coppia di corpi alla volta. Calcoleremmo così la forza tra la coppia Terra-Sole e poi quella tra la coppia Terra-Luna, per poi calcolare la somma vettoriale delle due forze badando alle loro direzioni oltre che ai loro moduli.

 

 

8) Come vedremo più avanti nelle lezioni dedicate all'Elettromagnetismo, c'è un forte parallelismo tra la legge di gravitazione universale e la legge di Coulomb.

 

 


 

Nella lezione successiva studieremo un po' più nel dettaglio la costante di gravitazione universale. Nel frattempo, se siete in cerca di problemi e di esercizi svolti, vi consigliamo di usare la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono tantissimi esercizi risolti e spiegati nel dettaglio. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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