Pendolo di torsione

Uno strumento che ci permette di realizzare una torsione è il pendolo di torsione, un sistema costituito da un filo verticale agganciato nella sua estremità superiore ed al quale è appeso un corpo.

 

Qui di seguito studieremo nel dettaglio il pendolo di torsione mostrandone il funzionamento e l'utilità. A tal proposito non mancheremo nel proporre tutte le formule che permettono di studiare modello e le relative implicazioni pratiche. ;)

 

Definizione e formule del pendolo di torsione

 

Ancora prima di cominciare, un utile riepilogo delle formule del pendolo di torsione che presenteremo e ricaveremo nel seguito della lezione.

 

 

Momento torcente del filo

 M = - k \theta

Equazione del pendolo di torsione

\frac{d^{2} \theta}{dt^{2}} + \frac{k}{I} \theta = 0

Legge oraria del pendolo di torsione

 \theta(t) = \theta_{max} \sin (\omega t + \phi)

Pulsazione del pendolo di torsione

\omega = \sqrt{\frac{k}{I}}

Energia meccanica (no attriti)

 \frac{1}{2}k \theta^{2} + \frac{1}{2}I \Omega^{2}=\mbox{costante}

Velocità angolare del disco

\Omega = \pm \sqrt{\frac{k \left(\theta_{max}^{2} + \theta^{2} \right)}{I} }

 

 

Prima di tutto vediamo com'è definito lo schema del pendolo di torsione: abbiamo già anticipato che esso è costituito da un filo vincolato ad una estremità e collegato ad un corpo dall'altra. Normalmente il filo è attaccato al centro di massa del corpo. Lo scopo di questo apparato sperimentale è quello di torcere il filo e studiarne il moto e le proprietà. Per farlo, supponiamo che il corpo appeso sia un disco mantenuto su un piano orizzontale, come in figura.

 

 

Pendolo di torsione

 

 

Se facciamo ruotare il disco, il filo si torce e sviluppa un momento torcente che ha la stessa espressione di quello trovato nella lezione precedente e che riportiamo qui di seguito.

 

 M = \frac{\pi}{2} G \frac{R^{4}}{l} \theta = k \theta

 

Il momento sviluppato dal filo ritorto però ha un segno meno, perché tenderà a far ruotare il disco nel verso opposto rispetto a quello della rotazione impressagli all'inizio. Pertanto possiamo scrivere:

 

 M = - k \theta

 

Dalle leggi della dinamica rotazionale sappiamo che il momento torcente è dato dal prodotto del momento d'inerzia I per l'accelerazione angolare \alpha.

 

 M = I \alpha

 

Uguagliando le due equazioni appena scritte, otteniamo:

 

 - k \theta = I \alpha

 

Ricordiamoci però che l'accelerazione angolare è definita come la derivata seconda dell'angolo rispetto al tempo; di conseguenza, l'equazione può essere riscritta nella sola variabile \theta.

 

 - k \theta = I \frac{d^{2} \theta}{dt^{2}}

 

Riscrivendo l'equazione in forma omogenea

 

\frac{d^{2} \theta}{dt^{2}} + \frac{k}{I} \theta = 0

 

Quella che abbiamo scritto è l'equazione differenziale che descrive un moto armonico, che avevamo già trovato e che, per una variabile generica x, si presentava così:

 

 \frac{d^{2}x}{dx^{2}} + \omega^{2}x = 0

 

Analisi dell'equazione del pendolo di torsione

 

Come vedete, la struttura dell'equazione del pendolo di torsione è identica a quella del moto armonico. Ciò significa ovviamente che, una volta che il filo è stato ritorto, il sistema comincia a muoversi di moto armonico.

 

In particolare il filo ritorto cercherà di ritornare nelle sue condizioni iniziali esercitando un momento torcente sul disco, che così comincerà ad accelerare. Quando il filo sarà nuovamente dritto, il disco avrà raggiunto la sua velocità massima e, per inerzia, continuerà il proprio moto cominciando così a torcere il filo nel verso contrario rispetto a prima.

 

Il filo, da parte sua, all'aumentare della torsione incrementa la propria capacità di opporsi alla torsione, esercitando sul disco un momento torcente che cresce al crescere dell'angolo di torsione \theta e che costringe il disco a rallentare fino a fermarlo. Da qui, il filo riprenderà a tornare dritto; in questo modo il processo si ripete al contrario fino a quando il sistema non torna al punto di partenza.

 

In assenza di attriti, il disco continua ad oscillare in senso orario e poi antiorario senza fine.

 

Legge oraria del pendolo di torsione

 

La legge oraria del moto del pendolo di torsione è data da

 

 \theta(t) = \theta_{max} \sin (\omega t + \phi)

 

dove \theta_{max} è l'angolo massimo descritto dalla rotazione del disco, \varphi è l'eventuale angolo iniziale e \omega è la pulsazione del moto.

 

Chi ha dimestichezza con le equazioni differenziali può cimentarsi nella risoluzione dell'equazione scritta in precedenza: si tratta di un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti. D'altra parte questo esercizio può essere tranquillamente aggirato, perché conoscendo la legge oraria del moto armonico è possibile scrivere la legge oraria del pendolo di torsione per semplice confronto.

 

Per confronto è pure possibile ricavare la formula della pulsazione per il pendolo di torsione

 

 \omega^{2} = \frac{k}{I}

 

da cui

 

\omega = \sqrt{\frac{k}{I}}

 

Da osservare che, a differenza del pendolo semplice, non abbiamo bisogno di imporre la limitazione delle piccole oscillazioni; qui l'angolo di torsione \theta può assumere qualunque valore, anche maggiore di 2\pi nel caso in cui il disco dovesse compiere più di un giro per torcere il filo. L'unica condizione da tenere a mente è che non dobbiamo esagerare, ossia non dobbiamo torcere il filo al punto che esso non sia più in grado di manifestare le proprietà elastiche che gli permettono di riportarsi alle condizioni originarie dopo una torsione.

 

Energia del pendolo di torsione

 

In assenza di attriti l'energia di un pendolo di torsione si conserva. L'energia totale è data dalla somma di quella potenziale acquisita dal filo ritorto e di quella cinetica rotazionale del disco che gira:

 

 \frac{1}{2}k \theta^{2} + \frac{1}{2}I \Omega^{2}=\mbox{costante}

 

Abbiamo chiamato la velocità angolare del disco con la lettera \Omega per distinguerla dalla pulsazione del moto armonico \omega, visto che si tratta di due grandezze fisiche diverse. 

 

Dall'equazione di conservazione dell'energia possiamo ricavare la formula della velocità angolare del disco in funzione dell'angolo di torsione \theta. Per farlo consideriamo l'energia totale in una situazione estrema; quando il filo è completamente ritorto (l'angolo di torsione ha raggiunto il suo valore massimo \theta_{max}) e il disco è fermo, l'energia totale del sistema è data solo dall'energia potenziale del filo perché, in quanto fermo, il disco non possiede energia cinetica. Abbiamo quindi:

 

 E = \frac{1}{2}k \theta_{max}^{2}

 

Applichiamo quindi il principio di conservazione dell'energia

 

 \frac{1}{2}k \theta^{2} + \frac{1}{2}I \Omega^{2} = \frac{1}{2}k \theta_{max}^{2}

 

Semplifichiamo il semplificabile

 

k \theta^{2} + I \Omega^{2} = k \theta_{max}^{2}

 

e risolviamo l'equazione in favore di \Omega

 

\Omega = \pm \sqrt{\frac{k \left(\theta_{max}^{2} + \theta^{2} \right)}{I} }

 

Dalla formula si deduce facilmente che la velocità angolare cresce al crescere della costante k, ma diminuisce al crescere del momento d'inerzia I. Tanto più grande è lo scarto tra l'angolo considerato Ï e l'angolo massimo di torsione \theta_{max}, tanto più grande è il valore di velocità angolare ottenuto, che si annulla quando \theta=\theta_{max}.

 

 


 

C'è ancora un argomento da trattare prima di chiudere il ciclo di lezioni di Dinamica: il concetto di compressione e dilatazione. Vi aspettiamo nella lezione successiva, nel frattempo se siete in cerca di esercizi svolti potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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