Scorrimento e torsione

A partire dalla lezione sul modulo di Young, e passando per l'articolo sulle deformazioni plastiche, abbiamo visto che per deformare un corpo possiamo procedere in due modi: mediante una trazione o mediante una compressione. Ora introduciamo due ulteriori metodi che permettono di deformare un qualsiasi corpo rigido: lo scorrimento e la torsione.

 

Oltre a descrivere queste due nuove trasformazioni in termini dinamici e grafici, presenteremo tutte le formule che descrivono gli scorrimenti e le torsioni dal punto di vista fisico. Pronti per cominciare? :)

 

Deformazione per scorrimento

 

Il primo modo di deformare i materiali rispetto alla trazione e alla compressione di cui ci occupiamo è lo scorrimento. Immaginiamo di avere un parallelepipedo rettangolo poggiato su una superficie piana: la faccia inferiore è vincolata e non può muoversi in alcun modo, mentre parallelamente alla faccia superiore viene esercitata una forza. Quel che si ottiene è una deformazione che tende ad inclinare i lati verticali del parallelepipedo, facendo sì che le sue facce laterali si trasformino da rettangoli a parallelogrammi.

 

 

Scorrimento

 

 

Questo fenomeno è detto deformazione per scorrimento. Chiamando \theta l'angolo che gli spigoli obliqui formano con la verticale, analogamente a quanto visto per il carico specifico, è possibile definire lo sforzo di taglio come rapporto tra la forza e la sezione

 

 \sigma = \frac{F}{S}

 

La formula che esprime la relazione tra lo sforzo di taglio e l'angolo \theta, espresso in radianti, è:

 

 \sigma = G \theta

 

La costante di proporzionalità diretta G si chiama modulo di rigidità o modulo di taglio e varia a seconda del materiale; per i metalli assume valori tipici con un ordine di grandezza pari a 1010 N/m2·rad.

 

Esiste una relazione tra il modulo di rigidità G e le altre costanti viste nelle leggi delle deformazioni dei solidi; in particolare la formula che lega il modulo di taglio con il modulo di Young ed il coefficiente di Poisson è data da

 

 G = \frac{E}{2(1 + \nu)}

 

Anche la legge dello scorrimento è valida per carichi che stanno al di sotto di una certa soglia, che permetta al materiale di manifestare proprietà elastiche.

 

 

Esempio sullo scorrimento

 

Vediamo un piccolo esempio: calcoliamo la forza necessaria a produrre uno spostamento d = 10 μm di un cubo di ferro di lato l = 1 cm, tenendo presente che il modulo di taglio del ferro è pari a G = 8·1010 N/m2 ed appossimando l'angolo \theta con la sua tangente (approssimazione valida per angoli piccoli).

 

 

Deformazione per scorrimento

 

 

Per risolvere l'esercizio applichiamo la formula per lo sforzo di taglio in relazione all'angolo

 

 \sigma = G \theta

 

e, come suggerito dalla traccia, approssimiamo l'angolo con la tangente

 

 \sigma = G\tan(\theta)

 

Ora ricordiamoci di come è definito lo sforzo di taglio per gli scorrimenti, e mettiamo tutto assieme

 

\frac{F}{S} = G \tan(\theta)

 

Poiché stiamo lavorando con un cubo possiamo esprimere la sezione come area del quadrato e ricorrere alla definizione di tangente di un angolo

 

\frac{F}{l^{2}} = G \tan\left(\frac{d}{l}\right)

 

Sfruttiamo l'approssimazione angolo-tangente al contrario ed effettuiamo un paio di semplici calcoli algebrici

 

F = G\frac{d}{l}l^2 =Gdl= \left(8\cdot 10^{10}\ \frac{\mbox{N}}{\mbox{m}^2}\right)\cdot (10\cdot 10^{-6}\mbox{m}) \cdot (0,01 \mbox{ m})=8000\mbox{ N}

 

Abbiamo così scoperto che ci vogliono ben 8000 N di forza per produrre uno spostamento di soli 10 micron!

 

Deformazione per torsione

 

Un altro modo di deformare i solidi è dato dalle deformazioni di torsione. Consideriamo un cilindro di raggio R e altezza l ed immaginiamo di incollare una delle sue basi circolari al soffito, di modo che rimanga vincolata. Possiamo quindi applicare un momento torcente alla base libera, così che la base inferiore tenda a ruotare rispetto a quella superiore, torcendo il cilindro.

 

 

Torsione

 

 

Il momento torcente che bisogna applicare alla base inferiore per fare in modo che essa ruoti di un angolo \theta rispetto a quella superiore è dato dalla seguente relazione:

 

 M = k \theta

 

Il momento e l'angolo di torsione sono direttamente proporzionali e la costante di proporzionalità k si misura in N·m/rad ed è data da:

 

 k = \frac{\pi}{2} G \frac{R^{4}}{l}

 

k dipende dunque dal tipo di materiale per via della costante G e dalle caratteristiche geometriche del corpo che subisce la torsione (raggio di base e lunghezza). Ad esempio, nel caso di un sbarra cilindrica molto sottile, come un filo, che ha quindi un piccolo raggio di base, è sufficiente applicare un piccolo momento torcente per produrre un grande angolo di torsione.

 

 

Come ricavare la formula del momento torcente per le torsioni

 

È possibile ricavare la prima formula che abbiamo scritto (quella che lega il momento torcente all'angolo di torsione) ragionando nel modo seguente. Dalla figura precedente si vede che l'angolo \varphi, per definizione di angoli in radianti, è dato da:

 

 \varphi = \frac{R \theta}{l}

 

Ora dobbiamo immaginare un cilindro più piccolo di raggio r interno a quello dato e di spessore infinitesimo dr, cavo al suo interno. Se srotoliamo questo cilindro, otteniamo un rettangolo di altezza h e lunghezza pari alla lunghezza della circonferenza di base (2\pi r).

 

 

Deformazione per torsione

 

 

La torsione del cilindro cavo può essere affrontato come scorrimento del rettangolo, come da figura. L’angolo \varphi' è dato da:

 

 \varphi^{I} = \frac{r \theta}{l}

 

Lo sforzo di taglio è dato da una frazione infinitesima di forza fratto la superficie superiore del rettangolo.

 

 \sigma = \frac{dF}{2 \pi r dr}

 

Dalla legge dello scorrimento, abbiamo:

 

 G = \frac{\sigma}{\varphi^{I}} = \frac{dF}{2 \pi r dr} \frac{l}{r \theta}

 

da cui

 

dF = \frac{2 \pi G r^{2} \theta dr}{l}

 

A questo punto possiamo calcolare il momento torcente, in accordo con la definizione:

 

 dM = r dF = \frac{2 \pi G r^{3} \theta dr}{l}

 

Il momento totale su tutto il cilindro intero è la somma di tutti gli infinitesimi momenti applicati ad ugni singolo strato cilindrico, il che in termini matematici si traduce in un integrale

 

\\ M = \int{dM} =\\ \\ \\ =\frac{2 \pi G \theta}{l} \int_{0}^{R}{ r^{3} dr } =\\ \\ \\ =\frac{2 \pi G \theta}{l} \frac{R^{4}}{4}=\\ \\ \\ = \frac{\pi}{2}G \frac{R^{4}}{l} \theta =\\ \\ \\ =k\theta

 

che è ciò che volevamo ricavare.

 

 

Lavoro ed energia in una torsione

 

Infine, diciamo che il momento torcente compie un lavoro dato da:

 

\\ L = \int_{0}^{\theta}{M(\theta) \: d \theta} = \\ \\ \\ =k \int_{0}^{\theta}{\theta \: d \theta} = \\ \\ \\ =\frac{1}{2} k \theta^{2}

 

Questa è anche l'energia potenziale elastica immagazzinata dal corpo una volta torto.

 

 


 

Per il momento è tutto: nella lezione successiva proseguiremo nello studio delle torsioni e tratteremo il modello del pendolo di torsione. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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