Coefficiente di Poisson

Quando abbiamo trattato il modulo di Young abbiamo considerato, a titolo di esempio, una sbarra di acciaio di una certa lunghezza e sezione circolare. La scelta dell'esempio non era casuale ma piuttosto funzionale a quello che vogliamo vedere in questa lezione: il coefficiente di Poisson.

 

Qui di seguito presentiamo la legge di Poisson e vediamo di capire qual è il suo significato e la sua utilità nello studio della Dinamica. Inoltre, proponiamo una tabella con i valori del coefficiente di Poisson dei materiali più diffusi, soprattutto nelle costruzioni. Cominciamo? :)

 

Legge di Poisson e coefficiente di Poisson

 

Se tentiamo di allungare la sbarra per mezzo di un carico applicato perpendicolarmente alla sezione di una sua estremità, è lecito aspettarsi che, per via dell'allungamento, la sezione si assottigli e che quindi se ne riduca il raggio.

 

In effetti è proprio così e la legge che ci permette di calcolare la variazione relativa del raggio (cioè il rapporto tra la variazione del raggio e il raggio prima della deformazione) rispetto alla variazione relativa di lunghezza (cioè il rapporto tra la variazione di lunghezza e la lunghezza prima della deformazione) è la legge di Poisson:

 

 \frac{\Delta r}{r} = - \nu \frac{\Delta l}{l}

 

dove con \nu indichiamo il coefficiente di proporzionalità di Poisson, che è una grandezza adimensionale, quindi priva di unità di misura. Il coefficiente di Poisson varia a seconda dei materiali, esattamente come il modulo di Young, e normalmente assume valori compresi tra 0 e 0,5.

 

Significato della legge di Poisson

 

Da sottolineare che, esattamente come nel caso della legge di Young, anche la legge di Poisson è valida per deformazioni elastiche e quindi per valori di carico che rientrino entro certi limiti oltre i quali, come vedremo, la deformazione diventa irreversibile e il corpo non torna più nelle sue condizioni originarie.

 

Qui abbiamo parlato di raggio ma va chiarito il fatto che la grandezza r rappresenta una qualsiasi dimensione della sezione del corpo: se si considera un sbarra a sezione rettangolare, ad esempio, r potrebbe rappresentare uno dei due lati del rettangolo.

 

Bisogna poi osservare che nella trazione il volume del corpo non diminuisce. È possibile verificare questa affermazione per via matematica: consideriamo infatti un corpo che ha già subito una deformazione per cui il suo volume finale è diventato uguale a quello iniziale più una variazione \Delta V.

 

 V = V_{0} + \Delta V

 

Nel caso di una sbarra di sezione circolare con raggio r e lunghezza l, il raggio a seguito della deformazione sarà r+\Delta r e la lunghezza l+\Delta l, pertanto il volume finale è (usiamo la formula del volume del cilindro):

 

 V = \pi (r + \Delta r)^{2}(l + \Delta l)

 

Svolgiamo i conti:

 

\\ V = \pi \left( r^{2} + 2r \Delta r + \Delta r^{2} \right) \left(l + \Delta l \right) =\\ \\ = \pi \left( r^{2}l + r^{2} \Delta l + 2rl \Delta r + 2r \Delta r \Delta l + \Delta r^{2}l + \Delta r^{2} \Delta l \right)

 

Trascuriamo gli ultimi temini di ordine superiore al primo in cui compaiono \Delta r^2 come pure \Delta r\Delta l perché "piccoli" rispetto agli altri, e così ci rimane:

 

 V = \pi r^{2}l + \pi r^{2} \Delta l + 2 \pi rl \Delta r

 

Il primo termine rappresenta il volume del corpo quando non è sottoposto a trazione, mentre la somma degli altri due ci danno la variazione di volume \Delta V. Se supponiamo che la variazione di volume debba essere positiva, possiamo impostare la seguente disequazione:

 

\\ \Delta V = \pi r^{2} \Delta l + 2 \pi rl \Delta r \geq 0 \: \: \longrightarrow \: \:  r \Delta l + 2l \Delta r \geq 0\\ \\ \\ r \Delta l \geq - 2l \Delta r \: \: \longrightarrow \: \: \frac{\Delta l}{l} \geq - 2 \frac{\Delta r}{r}

 

Grazie alla legge di Poisson, possiamo riscrivere l'ultimo rapporto:

 

 \frac{\Delta l}{l} \geq 2 \nu \frac{\Delta l}{l} \: \: \longrightarrow \: \: \nu \leq 0,5

 

Se supponiamo che il volume aumenti con la trazione, scopriamo che il valore del coefficiente di Poisson deve essere minore o uguale a 0,5 e, poiché questo è quello che si osserva sempre sperimentalmente, concludiamo che il volume non può diminuire. Nella situazione limite in cui ν=0,5 il volume rimane costante.

 

Nel caso delle compressioni invece il volume non aumenta mai ma piuttosto diminuisce o al limite resta costante.

 

Tabella del coefficiente di Poisson dei materiali

 

Da ultimo ecco la tabella con i valori del coefficiente di Poisson dei materiali che vi abbiamo promesso ad inizio lezione. I valori vengono ricavati sperimentalmente.

 

 

Materiale Modulo di Young (N·m-2)
Acciaio 0,27 - 0,30
Acciaio inox 0,30 - 0,31
Alluminio 0,33
Argilla 0,35 - 0,45
Calcestruzzo 0,1 - 0,2
Ferro 0,2 - 0,3
Ghisa 0,21 - 0,26
Gomma 0,5
Magnesio 0,35
Nichel 0,31
Oro 0,42
Rame 0,33
Roccia (varie qualità) 0,20 - 0,30
Sabbia 0,20 - 0,45
Schiuma 0,1 - 0,4
Sughero ≈0,00
Vetro 0,17 - 0,27
Titanio 0,34

 

 


 

Nella prossima puntata parleremo delle deformazioni plastiche. Intanto, se volete mettervi alla prova consultando gli esercizi svolti, sappiate che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e commentati nel dettaglio. Potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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