Modulo di Young

In questa lezione parleremo del modulo di Young, detto anche modulo di elasticità, e introdurremo la relativa formula detta legge di Young la quale esprime un'importante proprietà dei materiali.

 

Innanzitutto ci soffermeremo sulle definizioni e sulla formula del modulo di Young, proponendo tutte le osservazioni ed i commenti del caso. Fatto ciò ne analizzeremo l'unità di misura e ci soffermeremo alcuni esempi concreti; infine, riporteremo una tabella con il modulo di Young dei materiali più usati, con particolare riguardo all'ambito delle costruzioni. ;)

 

Definizione di modulo di Young

 

Prima di introdurre il modulo di Young è necessaria una premessa. Quando abbiamo parlato di corpi rigidi ci siamo premurati subito di dire che si trattava di oggetti indeformabili, ovvero di corpi che, nel momento in cui vengono sottoposti a sollecitazioni e forze, non modificano la propria forma. Avevamo però evidenziato come in realtà qualunque corpo è sempre deformabile e la nozione di corpo rigido a cui abbiamo fatto riferimento finora è solo un'idealizzazione della realtà.

 

Ora vogliamo trattare i corpi solidi come deformabili e vogliamo capire quali sono le leggi secondo le quali i corpi modificano la proria forma quando sono soggetti a forze, costruendo così un modello matematico più aderente alla realtà.

 

Per il momento di occuperemo delle cosiddette deformazioni elastiche, ovvero quelle deformazioni dovute a sollecitazioni tali per cui, quando la sollecitazione viene a mancare, il corpo ritorna ad assumere la forma e le dimensioni originarie. Tratteremo anche questo tipo di deformazioni mantendo costante la temperatura per ragione che vedremo più avanti.

 

Conosciamo già una legge che deforma i materiali: è la legge di Hooke. Essa esprime la forza con la quale una molla si allunga o si comprime. Tale forza è direttamente proporzionale all'elongazione, cioè al valore dell'allungamento o della compressione) secondo una costante di proporzionalità k che abbiamo chiamato costante elastica della molla. Abbiamo giustamente parlato di costante elastica perché abbiamo sempre trattato le deformazioni delle molle come deformazioni elastiche, secondo la definizione che ne abbiamo dato sopra. Sappiamo poi che la costante k può variare a seconda del materiale e delle carattestiche geometriche della molla.

 

Ora ci accingiamo ad introdurre una nuova grandezza - il modulo di Young - che ricopre un ruolo analogo a quello della costante elastica. Consideriamo una sbarra di acciaio a sezione circolare con un'estremità fissa e sottoponiamola ad una forza di trazione all'estremità libera. La forza cui è sottoposta la sbarra prende il nome di carico e tenderà ad allungare la sbarra modificandone così la lunghezza.

 

Modulo di Young

 

Si definiscono due grandezze utili nella trattazione delle deformazioni dei solidi: il carico specifico (\sigma) e la deformazione specifica (\varepsilon).

 

Il carico specifico è dato dal rapporto tra la forza a cui è sottoposto il solido e la sezione perpendicolare alla forza stessa; l'unità di misura è quindi il N/m2.

 

 \sigma = \frac{F}{S}

 

La deformazione specifica invece è data dal rapporto tra l'allungamento lineare del materiale e la sua lunghezza a riposo in assenza di carico. Trattandosi di un rapporto tra lunghezze, \varepsilon è un numero puro e non ha unità di misura.

 

 \varepsilon = \frac{\Delta l}{l}

 

Queste definizioni preliminari ci permettono di scrivere la definizione di modulo di Young (o modulo di elasticità), che è dato dal rapporto tra il carico specifico e la deformazione specifica. In una formula:

 

 E = \frac{\sigma}{\varepsilon}

 

Alla luce di quanto abbiamo scritto poco sopra, l'unità di misura del modulo di Young è il N/m2 e i suoi valori numerici sono normalmente dell’ordine del 1010 N/m2.

 

Dal modulo di Young alla legge di Young

 

Dalla definizione del modulo di Young, ricaviamo il carico specifico e sostituiamo a \sigma e a \varepsilon le rispettive definizioni

 

\\ \sigma = E \varepsilon\\ \\  \frac{F}{S} = E \frac{\Delta l}{l}

 

da cui

 

F = E S \frac{\Delta l}{l}

 

Quest'ultima formula viene detta legge di Young e consente di calcolare il carico cui è sottoposto un corpo solido a partire dal modulo di Young del materiale, dalla sezione perpendicolare alla forza, dall'allungamento lineare e dalla lunghezza a riposo.

 

 

Modulo di Young per allungamento e compressione

 

Nel nostro esempio abbiamo parlato di allungamento della sbarra d'acciaio, ma la legge di Young è valida anche nel caso di compressioni, con l'avvertenza che la il modulo di Young E può cambiare leggermente il suo valore.

 

 

Analisi della legge di Young

 

Se dalla legge di Young ricaviamo l'allungamento, otteniamo:

 

 \Delta l = \frac{Fl}{SE}

 

L'allungamento è, come ci si aspettava intuitivamente, direttamente proporzionale al carico a parità di lunghezza a riposo.

 

Meno intuitivamente, a parità di carico l'allungamento è direttamente proporzionale alla lunghezza del corpo. Potete provare ad immaginarla così: un solido è formato da un reticolo di atomi o molecole che mantengono costanti le loro posizioni reciproche. La posizione della particelle del reticolo però non è perfettamente ferma ma è suscettibile a piccole oscillazioni; è come se ogni particella fosse legata alla sua vicina da un molla che può oscillare. Sotto l'effetto di un carico, le particelle si distanziano le une dalle altre e più è lunga la sbarra, più alto è il numero di "legami-molla" tra le particelle che tendono ad allungarsi, con il risultato complessivo che l’allungamento della sbarra è maggiore.

 

L'allungamento è invece inversamente proporzionale ad modulo di Young. Di conseguenza ad un più alto valore del modulo di Young corrisponde un materiale più difficilmente deformabile e un conseguente minore allungamento.

 

Infine, l'allungamento è anche inversamente proporzionale alla superficie perpendicolare alla forza. Se, a parità di tutte le altre grandezze, raddoppiamo la superficie, è come se stessimo cercando di allungare non una ma due sbarre, con l'effetto che il carico su ciascuna di esse diventa la metà così come l’allungamento.

 

Esempio sul modulo di Young

 

Vediamo solo un esempio per renderci conto dei valori in gioco. Calcoliamo l'allungamento di una sbarra d'acciaio lunga 1 m, con sezione di raggio 2 mm e modulo di Young {tex}E=2,1\cdot 10^{11}\ \frac{N}{m^2}, sottoposta ad un carico di 1500 N.

 

 \Delta l = \frac{(1500 \mbox{ N}) \cdot (1\mbox{ m})}{\pi \cdot (0,002\mbox{ m})^2 \cdot \left(2,1\cdot 10^{11}\ \frac{\mbox{N}}{\mbox{m}^2}\right)}=0,57\mbox{ mm}

 

Come possiamo vedere, pur trattandosi di una sbarra molto sottile, l'allungamento è davvero piccolo! :)

 

Tabella del modulo di Young dei materiali

 

Per concludere in bellezza riportiamo una tabella con i valori del modulo di Young per i materiali che ricorrono maggiormente nelle applicazioni, ricavati sperimentalmente.

 

 

Materiale Modulo di Young (N·m-2)
Acciaio 2,10 x 1011
Acqua 2,3 x 109
Aria (a 20 °C) 1,43 x 105
Alluminio 6,9 x 1010
Calcestruzzo 3 x 1010
Piombo 1,7 x 1010
Vetro 6 x 1010

 

 


 

Nella prossima lezione ci occuperemo del coefficiente di Poisson. Nel frattempo, se siete alla ricerca di esercizi svolti, ricordatevi che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e commentati nel dettaglio. Potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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