Moto armonico smorzato

Parlando dell'oscillatore armonico, abbiamo sempre lavorato nell'ipotesi di totale assenza di attriti o di altre forze dissipative. Così facendo siamo riusciti a trovare le leggi che regolano il moto di un oscillatore armonico nei casi di un corpo agganciato ad una molla e di un pendolo. Sotto tali ipotesi le oscillazioni sono infinite, ma ovviamente non è questo il modello che osserviamo nella realtà.

 

Quando facciamo oscillare un pendolo osserviamo che, col trascorrere del tempo, l'ampiezza delle oscillazioni si riduce sempre di più, fino a quando il pendolo non avrà raggiunto la sua posizione di equilibrio e sarà fermo, col filo teso perfettamente in verticale. Questo accade perché gli attriti nella realtà sono sempre presenti e, come abbiamo sottolineato più volte, è possibile cercare di ridurli fino a renderli trascurabili ma non si possono eliminare del tutto.

 

Definizione e formule del moto armonico smorzato

 

Quello che si osserva quando il moto di un oscillatore armonico è soggetto ad attriti è un moto armonico smorzato, cioè con ampiezza decrescente nel tempo. Nel caso di un corpo agganciato ad una molla che oscilla su un piano orizzontale, la causa dello smorzamento è l'attrito tra il corpo e il piano; nel caso di un pendolo invece le oscillazioni vengono smorzate per via dell'attrito con l'aria del corpo appeso al filo.

 

Prima di tutto riepiloghiamo le formule in una tabella, per agevolare chi ci sta leggendo per ripassare, dopodiché entriamo nel vivo della lezione. ;)

 

 

Equazione delle forze

-k\vec{x}-b\vec{v}=m\vec{a}

Equazione differenziale del moto armonico smorzato

 \frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \frac{b}{m} \frac{dx}{dt} + \frac{k}{m} x = 0

Legge oraria del moto armonico smorzato

 x(t) = A\ \mbox{exp}\left(-\frac{t}{\tau}\right) \cos (\omega t + \phi)

Costante di tempo

 \tau = \frac{2m}{b}

Pulsazione

 \omega = \sqrt{\frac{k}{m} - \left( \frac{b}{2m} \right)^{2}}

Energia

 E = \frac{1}{2}kA^{2}\ \mbox{exp}\left(- \frac{2t}{\tau}\right)

 

 

Legge oraria del moto armonico smorzato

 

Vi ricordate la legge oraria del moto armonico? Bene, ora vediamo come ricavare la legge oraria per il moto armonico smorzato facendo riferimento al moto di una molla su un piano orizzontale e soggetta alla forza di attrito.

 

Per determinare la legge oraria dobbiamo partire dalla seconda legge di Newton e scrivere l'equazione delle forze tenendo presente:

 

- la forza elastica di richiamo;

 

- una forza d'attrito direttamente proporzionale alla velocità (come nel caso dell'attrito con i fluidi, aria compresa).

 

-k\vec{x}-b\vec{v}=m\vec{a}

 

Con b indichiamo un coefficiente da cui dipende il valore dell'attrito proporzionale alla velocità. Ovviamente possiamo considerare un sistema di riferimento unidimensionale e quindi possiamo riscrivere la relazione vettoriale nella forma

 

-kx-bv=ma

 

Riordinando i termini e scrivendo la velocità e l'accelerazione in forma di derivata, otteniamo:

 

 m \frac{d^{2}x}{dt^{2}} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0

 

Dividiano tutti i termini per la massa e abbiamo l'equazione differenziale per il moto armonico smorzato.

 

 \frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \frac{b}{m} \frac{dx}{dt} + \frac{k}{m} x = 0

 

Notiamo subito che, in assenza di una forza dissipativa e dunque nel caso in cui b=0, il termine con la derivata prima scompare e torniamo ad avere l'equazione dell'oscillatore armonico che già conoscevamo.

 

La legge oraria del moto è ovviamente soluzione dell'equazione scritta poco sopra. Chi ha dimestichezza con le equazioni differenziali (≥ Analisi 2) si sarà sicuramente accorto che si tratta di un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti, e dunque sarà certamente in grado di determinare la soluzione. Qui omettiamo il procedimento e passiamo subito a scrivere la legge oraria del moto armonico smorzato, la quale presenta un fattore esponenziale che riduce nel tempo l'ampiezza delle oscillazioni.

 

 x(t) = A\ \mbox{exp}\left(- \frac{t}{\tau}\right) \cos (\omega t + \phi)

 

Costante di tempo e pulsazione nel moto armonico smorzato

 

Nell'esponente compare la variabile tempo con un meno davanti, così che al crescere del tempo, il valore dell'esponenziale si riduce. Il coefficente \tau invece è la costante di tempo ed è definita come il tempo necessario affinché l'ampiezza si riduca di un fattore 1/e, ed è uguale a:

 

 \tau = \frac{2m}{b}

 

La pulsazione \omega invece è data da:

 

 \omega = \sqrt{\frac{k}{m} - \left( \frac{b}{2m} \right)^{2}}

 

Osserviamo che, rispetto al moto armonico non smorzato, la pulsazione nel moto armonico smorzato assume valori più piccoli e questo implica che il periodo di oscillazione sia maggiore: l'attrito rallenta il moto e allunga i tempi di oscillazione.

 

Nel caso limite in cui  b = 2 \sqrt{km} allora la pulsazione \omega si annulla e il moto non presenta più oscillazioni ma descresce in modo puramente esponenziale. Nel caso di un pendolo, in questa situazione l'attrito sarebbe tale da rallentarlo dalla sua posizione iniziale fino alla posizione di equilibrio, senza che possa oltrepassarla, impedendogli di fatto di oscillare avanti e indietro più volte.

 

 

Legame tra moto armonico smorzato e non smorzato

 

Se annulliamo il coefficiente b e quindi eliminiamo la forza dissipativa, la pulsazione torna ad essere data dalla radice del rapporto tra la costante k e la massa m mentre la costante di tempo diventa infinita, facendo sì che la funzione esponenziale diventi uguale a 1 e di fatto scompaia dall'equazione.

 

Grafico della legge oraria per il moto armonico smorzato

 

Nell'ipotesi in cui b sia sufficientemente piccolo da rendere positivo il termine sotto radice nell'equazione di \omega, la curva che si ottiene rappresentando la legge oraria su un piano cartesiano, dove come sempre collochiamo il tempo sull'asse orizzontale e la posizione sull'asse verticale, è la seguente:

 

 

Grafico moto armonico smorzato

 

 

Alla funzione coseno si devono le oscillazioni, la cui ampiezza segue l'andamento della funzione esponenziale con esponente negativo. Ad un grande valore della costante di tempo \tau corrisponde uno smorzamento più lento: c'è quindi bisogno di più tempo perché l'ampiezza di riduca di un fattore 1/e. Da notare che, per un tempo infinito, l'esponenziale si riduce a zero e con esso anche la posizione dell'oscillatore che raggiunge così la sua posizione di equilibrio.

 

Energia nel moto armonico smorzato

 

Studiando il moto armonico non smorzato da un punto di vista energetico, con un oscillatore armonico ideale, sappiamo che l'energia meccanica si conserva ed è uguale a:

 

 E = \frac{1}{2}kA^{2}

 

L'energia meccanica nel caso ideale dipende quindi dall'ampiezza massima di oscillazione A. Nel caso del moto armonico smorzato però l'ampiezza massima non è costante, bensì decresce nel tempo; c'è da aspettarsi allora che anche l'energia meccanica riduca progressivamente il proprio valore col passare del tempo. In effetti l'energia meccanica si presenta così:

 

 E = \frac{1}{2}kA^{2}\ \mbox{exp}\left(- \frac{2t}{\tau}\right)

 

L'energia decresce nel tempo due volte più rapidamente di quanto non faccia l'ampiezza. L'energia che viene via via a mancare rispetto al valore iniziale, equivale a quella dissipata dalle forze d'attrito sotto altre forme, come il calore ad esempio.

 

 


 

Continuate a leggerci, mancano poche puntate prima della conclusione della Dinamica! Se siete in cerca di esercizi svolti, sappiate che qui su YM ci sono tantissimi esercizi risolti e commentati nel dettaglio. Potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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