Pendolo fisico (pendolo composto)

Il pendolo semplice della precedente lezione è un'idealizzazione utile a capire le leggi fisiche che ne stanno alla base. Ora facciamo un passo in avanti e passiamo a considerare il pendolo fisico, detto anche pendolo composto.

 

A differenza del caso ideale, nella realtà un qualsiasi pendolo fisico sarà sicuramente composto da un filo, che potrebbe avere massa non trascurabile, e un corpo appeso di certo non puntiforme.

 

Oltre a questo, un qualunque corpo rigido può diventare un pendolo fisico nel momento in cui viene fatto oscillare attorno ad un suo punto qualsiasi diverso dal baricentro, indipendentemente dalla forma del corpo stesso.

 

Definizione e formule del pendolo composto

 

Partiamo dalla definizione di pendolo fisico: consideriamo un corpo rigido che può oscillare senza attrito su un piano verticale, attorno ad un punto O diverso dal suo baricentro.

 

 

Pendolo composto

 

 

Anticipiamo sin da subito le principali formule del pendolo fisico, in modo da agevolare la lettura di chi è qui per ripassare, dopodiché avremo modo di ricavarle e di commentarle nel dettaglio.

 

 

Momento torcente del pendolo fisico

M=-mgd\sin(\theta)

Equazione differenziale del pendolo fisico

\frac{d^{2} \vartheta}{dt^{2}} + \frac{mgd}{I} \theta = 0

Legge oraria del pendolo fisico

\theta (t)=A\cos(\omega t+\phi)

Pulsazione del pendolo fisico

\omega = \sqrt{\frac{mgd}{I}}

Periodo di oscillazione del pendolo fisico

T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}

Scrittura equivalente dell'equazione

 \frac{d^{2} \theta}{dt^{2}} + \omega^{2} \theta = 0

NB: tenere a mente le formule del moto armonico.

 

 

 

Momento della forza del pendolo fisico

 

La forza che viene esercitata sul pendolo è la forza peso applicata al suo baricentro. Chiamiamo con la lettera d la distanza tra il punto O e il baricentro C.

 

Nella posizione di equilibrio, la retta congiungente O e C è perfettamente verticale. Per poter far oscillare il pendolo è quindi necessario spostare tale retta in modo che essa formi un angolo \theta rispetto alla verticale. In questo modo, la forza peso applicata in C esercita un momento torcente dato da:

 

\vec{M}=\vec{d}\times\vec{F}_{P}

 

In accordo con il sistema di riferimento scelto, e ricordando la formula per il modulo del prodotto vettoriale

 

M=-F_Pd\sin(\theta)

 

da cui

 

M=-mgd\sin(\theta)

 

Il momento della forza è dato solo dalla componente perpendicolare al braccio che, nel sistema di riferimento scelto in figura, risulta essere negativa perché ha verso contrario rispetto a quello positivo dell'asse.

 

Equazione differenziale del pendolo fisico

 

Sappiamo anche che il momento della forza agente sul pendolo fisico è uguale al prodotto del momento di inerzia calcolato rispetto all’asse perpendicolare al piano di oscillazione passante per O e dell’accelerazione angolare.

 

 M = I \alpha

 

Qui conviene scrivere l'accelerazione angolare come la derivata seconda dell'angolo \theta rispetto al tempo.

 

 \alpha = \frac{d^{2} \vartheta}{dt^{2}} \: \: \: \longrightarrow \: \: \: M = I \frac{d^{2} \vartheta}{dt^{2}}

 

Se eguagliamo le espressioni dei due momenti così ottenuti, arriviamo all'equazione differenziale nella variabile \theta.

 

 I \frac{d^{2} \vartheta}{dt^{2}} = - mgd \sin(\theta)

 

Come abbiamo già visto per il pendolo semplice, nel caso di piccole oscillazioni, quindi per angoli indicativamente minori di 10°, il seno di \theta è ben approssimabile con l'angolo stesso. Pertanto l’equazione differenziale precedente diventa:

 

 I \frac{d^{2} \theta}{dt^{2}} = - mgd\theta

 

Con semplici calcoli algebrici possiamo riscriverla nella forma

 

\frac{d^{2} \theta}{dt^{2}} = - \frac{mgd}{I} \theta

 

In questo modo arriviamo all'equazione differenziale del pendolo fisico, la cui soluzione consiste nella legge oraria che ne descrive il moto.

 

\frac{d^{2} \vartheta}{dt^{2}} + \frac{mgd}{I} \theta = 0

 

Relazione tra pendolo fisico ed oscillatore armonico - Legge oraria del pendolo composto

 

Non vi viene in mente niente? Questa equazione presenta la stessa identica struttura di quella trovata nella lezione sull'oscillatore armonico, la quale descriveva il modello del moto armonico:

 

 \frac{d^{2} x}{dt^{2}} + \omega^{2} x = 0

 

La differenza rispetto a quanto avevamo già scritto sta nella variabile: nell'equazione generica abbiamo usato la variabile lineare x, mentre nel caso del pendolo composto abbiamo usato la variabile angolare \theta. Se però la struttura dell'equazione è la medesima, lo è anche la sua soluzione.

 

\theta (t)=A\cos(\omega t+\phi)

 

In questo caso, il coefficiente A rappresenta la massima apertura angolare del pendolo (l'angolo \theta massimo che il filo forma con la verticale). Se confrontiamo le due equazioni differenziali, ci rendiamo conto che vale la seguente relazione:

 

 \omega^{2} = \frac{mgd}{I} \: \: \: \to \: \: \: \omega = \sqrt{\frac{mgd}{I}}

 

Tenendo a mente che l'accelerazione di gravità g è costante, la pulsazione del pendolo fisico cresce all'aumentare della massa del pendolo e della distanza tra il punto di oscillazione e il baricentro; di contro, la pulsazione diminuisce all'aumentare del momento d'inerzia.

 

A questo punto possiamo anche determinare il periodo di oscillazione del pendolo fisico:

 

 T = \frac{2 \pi}{\omega} \: \: \: \to \: \: \: T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}

 

Relazione tra pendolo fisico e pendolo semplice

 

È interessante notare che dalla formula del periodo di oscillazione è possibile ricavare l'espressione del periodo di un pendolo semplice, mediante opportune considerazioni. In un pendolo semplice, il punto O coincide con il punto di aggancio del filo e il baricentro del corpo oscillante con quello del corpo appeso, nell'ipotesi di un filo di massa trascurabile. Di conseguenza la distanza che prima si chiamava d coincide ora con la lunghezza del filo L.

 

Consideriamo il corpo appeso al filo come una sfera piena; il momento di inerzia calcolato rispetto ad un asse fisso passante per il suo centro è:

 

 I_{c} = \frac{2}{5}mr^{2}

 

dove m è la massa della sfera e r il suo raggio. Ora possiamo applicare il teorema di Huygens-Steiner per calcolare il momento d'inerzia che compare nella formula del periodo del pendolo fisico in questo modo:

 

 I = I_{c} + mL^{2} = \frac{2}{5}mr^{2} + mL^{2}

 

Riscriviamo il periodo:

 

 T = 2 \pi \sqrt{\frac{\frac{2}{5}mr^{2} + mL^{2}}{mgL}} = 2 \pi \sqrt{\frac{\frac{2}{5}r^{2} + L^{2}}{gL}}

 

Una delle ipotesi alla base del pendolo semplice è che la massa appesa al filo doveva essere puntiforme, quindi possiamo considerare il raggio come trascurabile rispetto alla lunghezza del filo ed eliminarlo dall'equazione:

 

 T = 2 \pi \sqrt{\frac{L^{2}}{gL}} = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}

 

che è esattamente la formula trovata per il periodo di oscillazione di un pendolo semplice. ;)

 

 


 

Non perdetevi la lezione successiva, in cui tratteremo il moto armonico smorzato. Nel frattempo, se siete in cerca di esercizi svolti, sappiate che qui su YM ci sono tantissimi esercizi risolti e commentati nel dettaglio. Potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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