Pendolo semplice

Il pendolo semplice è un altro esempio di oscillatore armonico perché soggetto ad una forza di richiamo proporzionale allo spostamento dalla posizione di equilibrio. Si tratta di un oggetto ideale composto da una particella di massa m appesa ad un filo inestensibile di massa trascurabile.

 

Qui di seguito ne daremo una definizione dettagliata, ne analizzeremo il comportamento e ci soffermeremo sulle formule del pendolo semplice, proponendo tutti i commenti del caso.

 

Definizione e formule del pendolo semplice

 

Come abbiamo già anticipato, il pendolo semplice consiste in un sistema costituito da una massa m collegata ad un filo inestensibile.

 

Quando la particella è in equilibrio, è ferma con il filo teso perfettamente in verticale. Se però la particella viene spostata dalla posizione di equilibrio, comincerà ad oscillare su un piano verticale sotto l'effetto della forza peso che la richiama verso la posizione di equilibrio. Nel suo moto, la particella disegna un arco di circonferenza centrata nel punto di fissaggio del filo e di raggio pari alla lunghezza del filo. Nell'ipotesi di assenza di attriti, queste oscillazioni non hanno fine.

 

Quello che ci interessa è arrivare a determinare il periodo di oscillazione del pendolo. Per farlo, allontaniamo la particella dalla sua posizione di equilibrio di un angolo \theta rispetto alla verticale e scegliamo un sistema di riferimento in cui l'asse y ha la stessa direzione del filo e l'asse x invece è tangente alla traiettoria circolare disegnata dalla particella nel suo moto oscillatorio.

 

 

Pendolo

 

 

Per agevolare lo studio di chi ci sta leggendo per ripassare, anticipiamo sin da subito le formule del pendolo semplice. Nel seguito vedremo come ricavarle e le analizzeremo nel dettaglio.

 

 

Componente attiva della forza peso (per piccole oscillazioni)

F_{P,x}=-\left(\frac{mg}{L}\right)x

Periodo di oscillazione del pendolo semplice

T=2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}

NB: tenere a mente le formule del moto armonico.

 

 

Diagramma delle forze per il pendolo semplice

 

Il sistema di riferimento così scelto non è fisso, ma ruota seguendo il moto della particella. Lungo l'asse y disegniamo la tensione del filo diretta verso l'alto  e poi scomponiamo la forza peso lungo gli assi, come abbiamo fatto ad esempio nel caso del piano inclinato.

 

\\ F_{P,y}=mg\cos(\theta)\\ \\ F_{P,x}=-mg\sin(\theta)

 

Mentre la componente lungo l'asse y della forza peso controbilancia solamente la tensione del filo, facendo sì che la particella di fatto non si muova lungo quest'asse, ciò che sposta la particella e la fa oscillare è la componente della forza peso lungo l'asse x.

 

Il segno meno che abbiamo scritto per questa componente indica solo che essa ha verso opposto rispetto a quello in cui l'angolo \theta cresce. Se si sposta dunque il pendolo verso destra, la forza F_{P,x} è diretta verso sinistra (come nel nostro disegno), e viceversa. Il segno meno è in fondo una caratteristica distintiva delle forze di richiamo.

 

 

Proporzionalità della componente x della forza rispetto all'angolo per il pendolo semplice

 

Questa forza è proporzionale al seno dell'angolo \theta, ma per angoli "piccoli" si può dire che la forza è direttamente proporzionale all'angolo e non al suo seno. Vediamo di giustificare tale affermazione prima da un punto di vista intuitivo (accessibili a tutti), poi da un punto di vista rigoroso.

 

Prendete la calcolatrice e calcolate il seno di 7°:

 

\sin(7^o)\simeq 0,12187

 

Ora trasformate l'angolo di 7° in radianti, ed otterrete:

 

7^o\simeq 0,12217\mbox{ rad}

 

Come potete vedere i due numeri sono molto simili. In particolare, per angoli al di sotto dei 10° (sono questi gli angoli "piccoli"), il seno di \theta può essere sostituito dallo stesso angolo \theta con un'ottima approssimazione, a patto però che quest'ultimo sia espresso in radianti. Da un punto di vista rigoroso (facoltativo), è sufficiente ricordare che lo sviluppo di Taylor del seno al primo ordine, centrato in x_0=0, è dato da

 

\sin(x)=x+o(x)

 

da cui l'approssimazione \sin(x)\sim_{x\to 0}x.

 

Grazie a questa osservazione, ed in forza di tale approssimazione, la componente della forza peso lungo l'asse x diventa:

 

F_{P,x}=-mg\theta

 

 

Componente x della forza peso rispetto allo spostamento

 

A sua volta, lo spostamento x della particella dalla sua posizione di equilibrio, è molto bene approssimata dall'arco di circonferenza sotteso all'angolo \theta; pertanto dalla definizione di angoli in radianti, possiamo scrivere:

 

\theta=\frac{x}{L}

 

dove L è la lunghezza del filo. A questo punto, la forza di richiamo del pendolo semplice in funzione dello spostamento diventa:

 

F_{P,x}=-mg\frac{x}{L}

 

da cui

 

F_{P,x}=-\left(\frac{mg}{L}\right)x

 

Tale formula è del tutto analoga a quella della forza elastica dove la costante elastica k è stata sostituita dal termine tra le parentesi tonde, che ha le medesime unità di misura di k.

 

Nel caso della molla, o più precisamente dell'oscillatore armonico, avevamo trovato la seguente formula per il periodo di oscillazione:

 

 T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}

 

Ora ci basta sostituire in luogo di k il termine tra parentesi trovato prima ed otteniamo il periodo di oscillazione di un pendolo semplice nell'ipotesi di piccole oscillazioni.

 

 T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{\frac{mg}{L}}}

 

da cui

 

T=2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}

 

Proprietà del periodo del pendolo semplice

 

Ci sono diverse proprietà del periodo di oscillazione del pendolo semplice che possono essere facilmente dedotte dalla precedente formula.

 

1) Il periodo del pendolo semplice dunque dipende dalla lunghezza del filo (un pendolo dal filo più lungo richiede più tempo per compiere un'oscillazione completa) e dall'accelerazione di gravità g, conseguenza del fatto che la forza di richiamo è una componente della forza peso.

 

2) Da notare invece che nella formula non compare la massa: fissata una certa lunghezza del filo, potete appendervi qualunque massa (che il filo possa reggere senza spezzarsi, ovviamente) e otterrete sempre lo stesso identico periodo.

 

3) Il periodo è indipendente dall'ampiezza di oscillazione: fissata la lunghezza, il periodo è lo stesso sia che l'angolo \theta sia di 9°, sia che \theta sia di 5°. Di questo si era accorse per primo Galileo Galilei; si racconta infatti che una domenica, assistendo alla messa nel duomo di Pisa, avesse visto oscillare i lampadari mossi dalle correnti d'aria. Si accorse che, nonostante le ampiezze di oscillazioni fossero diverse, il periodo ero lo stesso per tutti i lampadari perché tutti erano appesi a funi della stessa lunghezza.

 

4) Nel caso di oscillazioni non "piccole", cioè per angoli tali per cui il seno di \theta non può essere sostituito dall'angolo stesso senza commettere un errore o comunque un'approssimazione eccessiva, il periodo può essere calcolato lo stesso ma con una formula più pesante che presente più termini correttivi. Siccome normalmente non viene mai usata, non la tratteremo.

 

 


 

Nella prossima lezione tratteremo il modello del pendolo fisico, detto anche pendolo fisico. Nel frattempo, nel caso foste in cerca di esercizi svolti, ricordate che qui su YM ci sono tantissimi esercizi risolti e commentati nel dettaglio. Potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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