Energia dell'oscillatore armonico

Abbiamo affrontato la cinematica del moto armonico e, nella precedente lezione dedicata all'oscillatore armonico, abbiamo verificato che la sua legge oraria è soluzione dell'equazione differenziale delle forze.

 

Ora vogliamo affrontare il problema da un punto di vista energetico e studiare l'energia dell'oscillatore armonico. Cominciamo. ;)

 

Analisi energetica dell'oscillatore armonico

 

Sappiamo che, in assenza di forze dissipative (forze non conservative), l'energia meccanica di un sistema si conserva. Essendo un principio del tutto generale, esso è valido anche per un oscillatore armonico.

 

Come nella precedente lezione, consideriamo una massa collegata ad una molla che può oscillare su un piano orizzontale privo d'attrito.

 

Anticipiamo sin da subito tutte le formule per l'energia dell'oscillatore armonico, in modo da agevolare la lettura di chi è qui per ripassare. Nelle righe seguenti avremo modo di ricavarle e di commentarle nel dettaglio.

 

 

Energia potenziale dell'oscillatore armonico

 U = \frac{1}{2}kA^{2} \cos^{2} (\omega t + \phi)

Energia cinetica dell'oscillatore armonico

K=\frac{1}{2}kA^2\sin^2(\omega t+\phi)

Energia meccanica dell'oscillatore armonico

 E = \frac{1}{2}kA^{2}

Velocità dell'oscillatore armonico in funzione della posizione

 v = \pm \sqrt{\frac{k \left( A^{2} - x^{2} \right)}{m}}

 

Energia potenziale dell'oscillatore armonico

 

Sappiamo che la forza elastica di una molla è conservativa e di conseguenza è possibile associarla ad un'energia potenziale; niente di nuovo fin qui, tanto che in passato abbiamo anche determinato l'espressione generale dell'energia potenziale elastica, che dipende dalla costante elastica k e dall'elongazione x, secondo la formula:

 

U=\frac{1}{2}kx^2

 

La posizione x della massa però non è costante, ma varia nel tempo secondo la legge oraria del moto armonico:

 

x(t) =A\cos(\omega t+\phi)

 

dove A rappresenta la massima elongazione. Se sostituiamo la x nella formula dell'energia potenziale, otteniamo:

 

 U = \frac{1}{2}kA^{2} \cos^{2} (\omega t + \phi)

 

L'energia potenziale di un oscillatore armonico varia in funzione del tempo. Notiamo però che essa non assumerà mai valori negativi: infatti l'unico termine che potrebbe assumere valori negativi è il coseno ma, comparendo al quadrato, sarà sicuramente positivo.

 

Dalla precedente formula è facile vedere che l'energia potenziale dell'oscillatore armonico è massima nei punti di massimo allungamento o di massima compressione, ovvero in quei punti in cui il coseno è uguale a 1; è invece nulla quando il corpo raggiunge la posizione di equilibrio della molla, e cioè quando l'elongazione x è nulla.

 

Energia cinetica dell'oscillatore armonico

 

Occupiamoci ora dell'energia cinetica. La sua espressione è

 

 K = \frac{1}{2}mv^{2}

 

La velocità dell'oscillatore in funzione del tempo è data dalla derivata della posizione:

 

\\ v=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}[x(t) =A\cos(\omega t+\phi)]=- A\omega\sin(\omega t+\phi)

 

Di conseguenza, con una semplice sostituzione scopriamo che l'energia cinetica varia nel tempo secondo la legge:

 

 K = \frac{1}{2} m A^{2} \omega^{2} \sin^{2} (\omega t + \phi)

 

ossia

 

K=\frac{1}{2}kA^2\sin^2(\omega t+\phi)

 

dove nell'ultimo passaggio abbiamo usato la relazione dedotta nella precedente lezione

 

 \omega^{2} = \frac{k}{m} \: \: \: \longrightarrow \: \: \: m \omega^{2} = k

 

Anche l'energia cinetica è una quantità sempre positiva. In particolare, l'energia cinetica dell'oscillatore armonico è nulla nei punti di massima elongazione e massima quando l'oscillatore si trova nella posizione di riposo della molla.

 

Energia meccanica dell'oscillatore armonico

 

In assenza di attrito, cioè in assenza di forze non conservativa, l'energia meccanica dell'oscillatore armonico si conserva e mantiene dunque lo stesso valore in qualunque istante e in qualunque posizione assunta dall'oscillatore. Se vogliamo trovare la sua espressione, non dobbiamo fare altro che sommare l'energia cinetica e quella potenziale.

 

 E = K + U = \frac{1}{2}kA^{2} \sin^{2} (\omega t + \phi) + \frac{1}{2}kA^{2} \cos^{2} (\omega t + \phi)

 

Se raccogliamo i termini in comune:

 

 E = \frac{1}{2}kA^{2} \left[ \sin^{2} (\omega t + \phi) + \cos^{2} (\omega t + \phi) \right]

 

otteniamo una parentesi in cui compare la somma dei quadrati del seno e del coseno del medesimo argomento, che è uguale a 1 in forza della relazione fondamentale della trigonometria. Dunque l'energia meccanica del sistema è uguale a:

 

 E = \frac{1}{2}kA^{2}

 

Com'era lecito aspettarsi, la formula dell'energia meccanica dell'oscillatore armonico fornisce un'espressione che coincide con l'energia potenziale nel punto di massima elongazione. Qui infatti l'energia cinetica è nulla perché è nulla la velocità del corpo, pertanto l'energia meccanica coincide con quella potenziale.

 

Cinematica dell'oscillatore armonico dall'analisi energetica

 

Alla luce di quanto visto fin qui possiamo ricavare una formula che ci dice come cambia la velocità in funzione non del tempo, bensì della posizione assunta dall'oscillatore armonico nel suo moto. Possiamo trovarla sommando l'energia cinetica alla potenziale e eguagliare questa somma alla formula dell'energia meccanica trovata prima.

 

 \frac{1}{2}mv^{2} + \frac{1}{2}kx^{2} = \frac{1}{2}kA^{2}

 

Facendo i conti in modo da esplicitare la velocità, otteniamo:

 

 v = \pm \sqrt{\frac{k \left( A^{2} - x^{2} \right)}{m}}

 

Il più e il meno davanti alla radice ci dicono che la velocità può avere versi differenti: in effetti, in base alla sua posizione, l'oscillatore armonico può avere velocità diretta verso destra o verso sinistra (se si muove in orizzontale) e questo fa sì che la velocità assuma segni diversi in quanto grandezza vettoriale.

 

Osserviamo anche che se alla posizione generica x sostituiamo A, ovvero ci posizioniamo nel punto di massima compressione o di massimo allungamento, la velocità si annulla. Sarà invece massima se ad x sostituiamo lo zero, cioè la posizione in cui l'oscillatore si trova nella posizione di equilibrio con la molla a riposo.

 

 


 

Ancora una manciata di lezioni e la sezione di Dinamica potrà dirsi conclusa; non dimenticatevi che qui su YM potete reperire tantissimi esercizi svolti, non dovete fare altro che usare la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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