Oscillatore armonico

Continuiamo a dedicarci ai principali modelli che sono oggetto di studio in Dinamica; ora è il momento di affrontare l'analisi dell'oscillatore armonico, il primo e più elementare modello in cui entrano in gioco le leggi del moto armonico.

 

Oltre a spiegare in cosa consiste e a snocciolare tutte le formule dell'oscillatore armonico, a differenza della lezione sul moto armonico porremo la nostra attenzione sugli aspetti dinamici, cercando di comprendere e di analizzare le cause del moto. 

 

Cos'è un oscillatore armonico

 

Quando abbiamo trattato il moto armonico da un punto di vista cinematico, cioè studiando solo il suo moto ignorandone le cause, abbiamo visto come esso sia la proiezione lungo un diametro della traiettoria del moto circolare uniforme di un punto.

 

Ragionando a partire da quanto sapevamo sul moto circolare uniforme, avevamo ricavato la legge oraria del moto armonico, che ci dice come cambia la posizione in funzione del tempo.

 

 x(t) = A \cos (\omega t + \phi )

 

Il moto è così descritto da una cosinusoide con ampiezza pari ad A, pulsazione \omega e costante di fase \phi.

 

Quello che vogliamo fare ora è studiare la dinamica di un corpo che si muove di moto armonico, cioè di quello che viene definito oscillatore armonico, ossia un corpo sul quale agisce una forza proporzionale allo spostamento e di verso opposto rispetto a tale spostamento.

 

Esempio di oscillatore armonico

 

Un esempio di oscillatore armonico è un oggetto agganciato ad una molla che è libero di oscillare lungo un piano orizzontale privo di attrito. Se il corpo viene spostato in modo che la molla si allunghi, sotto l'effetto della forza elastica questo tenderà a muoversi verso la posizione di equilibrio, ovvero la posizione di riposo della molla che coincide con quella lunghezza tale per cui la molla non risulta né compressa né allungata.

 

Avendo però acquisito una certa velocità, il corpo continuerà a muoversi per inerzia spingendo la molla oltre la sua posizione di riposo: in questo modo la molla comincerà progressivamente a comprimersi esercitando una forza sul corpo per cercare di respingerlo e riportarsi nuovamente nella posizione di equilibrio. In assenza di attrito o altre forze esterne, le oscillazioni del corpo procedono all'infinito.

 

Formule ed equazione dell'oscillatore armonico

 

Prima di tutto, per la comodità di chi sta ripassando e vuole avere tutte le formule dell'oscillatore armonico a portata di mano, ecco una tabella riepilogativa. Nel seguito della lezione avremo modo di ricavare e commentare tutte le formule nel dettaglio.

 

 

Equazione dell'oscillatore armonico \frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \frac{k}{m} x = 0
Legge oraria del moto  x(t) = A \cos (\omega t + \phi )
Legge oraria del moto (soluzione dell'equazione)

 x(t) = A \cos \left(\sqrt{\frac{k}{m}} t + \phi \right)

Pulsazione \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}
Periodo  T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}
Scrittura equivalente dell'equazione  \frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \omega^{2} x = 0
NB: tenere a mente tutte le formule del moto armonico.

 

 

 

Ok, procediamo. La forza che muove il corpo e lo fa oscillare è la forza elastica che già conosciamo:

 

 \vec{F} = - k \vec{x}

 

dove con k indichiamo la costante elastica della molla: maggiore è il suo valore, maggiore sarà la resistenza della molla ad allungarsi o comprimersi. Con il vettore \vec{x} invece indichiamo l'elongazione della molla, cioè la variazione della lunghezza della molla rispetto alla sua lunghezza a riposo.

 

Ricordiamo infine che il segno nell'espressione della forza elastica sta ad indicare che il verso della forza esercitata sul corpo è opposto rispetto all'elongazione, e per questo motivo la forza elastica viene definita anche forza di richiamo.

 

Se il corpo, così come abbiamo ipotizzato, è soggetto alla sola forza elastica della molla, possiamo scrivere velocemente l'equazione delle forze in accordo con la seconda legge di Newton

 

\vec{F}=m\vec{a}

 

dove m indica la massa del corpo ed \vec{a} la sua accelerazione. Eliminiamo la notazione vettoriale perché siamo interessati ai moduli delle grandezze:

 

 - kx = ma

 

D'altra parte l'accelerazione è uguale alla derivata seconda della posizione rispetto al tempo, per cui otteniamo:

 

 - kx = m \frac{d^{2}x}{dt^{2}}

 

Riordinando i termini arriviamo ad un'equazione differenziale di questo tipo:

 

\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \frac{k}{m} x = 0

 

Si tratta dell'equazione delle forze espressa nella variabile x, ovvero la posizione del corpo oscillante, e costituisce l'equazione dell'oscillatore armonico semplice (detta anche equazione differenziale del moto armonico semplice).

 

Risoluzione dell'equazione dell'oscillatore armonico semplice

 

Chiunque abbia già studiato le equazioni differenziali (Analisi 2 nei corsi universitari) non ha alcun problema nel capire che si tratta di un'equazione differenziale lineare del secondo ordine omogenea e a coefficienti costanti, e di conseguenza nel risolverla in modo rigoroso.

 

Ad ogni modo, alla luce dell'importanza che l'oscillatore armonico riveste in Fisica, in questo frangente conviene fornire un metodo di risoluzione edulcorato ed accessibile anche a chi non ha ancora studiato le equazioni differenziali.

 

Se vogliamo risolvere l'equazione, dobbiamo pensare ad una funzione la cui derivata seconda sia uguale a se stessa ma cambiata di segno. La Matematica ci dice che la funzione seno e la funzione coseno hanno proprio questa particolare caratteristica; in particolare possiamo verificare che la legge oraria del moto armonico che abbiamo richiamato all'inizio costituisce una soluzione dell'equazione dell'oscillatore armonico

 

 x(t) = A \cos (\omega t + \phi )

 

Per procedere alla verifica basta sostituire a \frac{d^2x}{dt^2} e a x le corrispondenti espressioni della candidata soluzione

 

 \frac{d^{2}}{dt^{2}}[A \cos (\omega t + \phi )] = \frac{d}{dt}[- A \omega \sin (\omega t + \phi )] = - A \omega^{2} \cos (\omega t + \phi )

 

Sostituendo il tutto nell'equazione differenziale

 

\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \frac{k}{m} x = 0

 

otteniamo:

 

 - A \omega^{2} \cos (\omega t + \phi ) = - \frac{k}{m} A \cos (\omega t + \phi )

 

Da qui si vede subito che l'equazione è verificata a patto che valga la seguente relazione:

 

 \omega^{2} = \frac{k}{m}

 

da cui la formula che esprime la pulsazione per un oscillatore armonico

 

\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}

 

Di conseguenza

 

 x(t) = A \cos \left(\sqrt{\frac{k}{m}} t + \phi \right)

 

è una soluzione dell'equazione dell'oscillatore armonico.

 

Ricordando che la pulsazione \omega misura la rapidità con cui vengono effettuate le oscillazioni nel moto armonico, com'era lecito supporre abbiamo scoperto che la pulsazione \omega di un corpo di massa m, che oscilla sotto l'effetto della forza di richiamo di una molla di costante elastica k, è direttamente proporzionale a \sqrt{k} e inversamente proporzionale a \sqrt{m}. Al crescere della costante elastica aumenta la pulsazione, mentre al crescere della massa la pulsazione diminuisce.

 

 

Periodo dell'oscillatore armonico

 

L’equazione differenziale di un oscillatore armonico può essere così scritta.

 

 \frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \omega^{2} x = 0

 

Possiamo anche ricavare il periodo di un oscillatore armonico, che ci dice quanti secondi impiega a fare un'oscillazione completa. Ricordando che:

 

 \omega = \frac{2 \pi}{T} \: \: \: \longrightarrow \: \: \: T = \frac{2 \pi}{\omega}

 

basta sostituire ad \omega l'espressione della formula precedente

 

 T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}

 

Il periodo quindi aumenta all'aumentare della massa e diminuisce all'aumentare della costante elastica della molla.

 

 

Indipendenza del periodo e della pulsazione dall'ampiezza e dalla costante di fase

 

Osserviamo infine che il periodo di oscillazione è del tutto indipendente dalla massima ampiezza A del moto armonico: infatti ad un'ampiezza maggiore corrisponderà anche uno spazio maggiore da percorrere, e quindi un tempo più lungo; ma se si incrementa l'ampiezza, aumenta anche il valore della forza di richiamo e la conseguente accelerazione subita dal corpo. Questo secondo effetto va totalmente a compensare il primo, cosicché l'ampiezza diventa una grandezza ininfluente ai fini del calcolo del periodo (e conseguentemente della pulsazione).

 

Vale un'osservazione analoga per la costante di fase \phi, che non influenza il periodo né la pulsazione nel moto.

 

 


 

Nella lezione successiva approfondiremo il discorso trattando l'energia dell'oscillatore armonico. Intanto, se siete in cerca di esercizi svolti, non dimenticate che qui su YM ci sono tantissimi esercizi risolti e commentati nel dettaglio. Potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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