Macchina di Atwood

Il matematico inglese George Atwood, vissuto nella seconda metà del 1700, ideò un semplice apparato sperimentale (chiamato successivamente macchina di Atwood in suo onore) per studiare agevolmente il moto accelerato e per misurare l'accelerazione di gravità più facilmente e con un maggior grado di precisione di quanto non si potesse fare col piano inclinato.

 

In questa lezione vediamo in cosa consiste, come utilizzarla e quali sono le formule della macchina di Atwood che ne descrivono il funzionamento.

 

Macchina di Atwood con carrucola ideale

 

Per studiare l'esperimento della macchina di Atwood permette di misurare l'accelerazione di gravità, partiamo naturalmente dalla descrizione dell'apparato. Si tratta di una carrucola alla quale sono appesi due corpi tramite una corda, come in figura.

 

 

Macchina di Atwood

 

 

Molto intuitivamente, il corpo più pesante scenderà facendo ruotare la carrucola e costringerà il corpo più leggero a salire. Proviamo a calcolare l'accelerazione con cui si muovono i due corpi e il valore della tensione della corda nel caso più semplice, in cui si trascurano gli attriti e si considera una carrucola priva di massa. In pratica lavoriamo con una macchina di Atwood dotata di una carrucola ideale, quindi nelle ipotesi descritte nella primissima lezione dedicata alle carrucole.

 

Disegniamo le forze che agiscono sul sistema, supponendo che sia il corpo 1 a scendere.

 

 

Diagramma forze macchina di Atwood

 

 

Ora, per ciascuno dei due corpi scriviamo l'equazione delle forze dettata dal secondo principio della Dinamica

 

 \begin{cases}\vec{P}_1+\vec{T}=m_1\vec{a} \\ \vec{P}+\vec{T}=m_2\vec{a}\end{cases}

 

Poiché in entrambi i casi stiamo lavorando lungo un'unica direzione, possiamo riscrivere le precedenti equazioni specificando i segni delle grandezze coinvolte. Per il corpo 1 consideriamo un riferimento con verso delle coordinate crescenti rivolto verso il basso (in modo da assecondare la forza di gravità); per il corpo 2 invece prendiamo come verso delle coordinate crescenti quello rivolto verso l'alto (in modo da assecondare la tensione della fune).

 

 \begin{cases} m_{1}g - T = m_{1}a \\ T - m_{2}g = m_{2}a \end{cases}

 

Nelle nostre ipotesi la tensione e l'accelerazione sono le stesse per entrambi i corpi e pertanto non vanno distinte. Anzi: sono proprio le grandezze che ci permettono di risolvere il sistema.

 

Ricaviamo ad esempio la tensione dalla seconda equazione e sostituiamola nella prima:

 

 \begin{cases} m_{1}g - m_{2}g - m_{2}a = m_{1}a \\ T = m_{2}g + m_{2}a \end{cases}

 

Dalla prima equazione possiamo ora ricavare le formule per la macchina di Atwood ideale, grazie alle quali potremo calcolare l'accelerazione e la tensione della corda

 

 \begin{cases} a = \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}}g \\ \\ T = \frac{2m_{1}m_{2}}{m_{1} + m_{2}}g \end{cases}

 

Macchina di Atwood e carrucola con massa non trascurabile

 

E se invece la macchina di Atwood avesse una carrucola con massa non trascurabile? In questo caso dobbiamo lavorare nelle ipotesi viste nella lezione sulle carrucole dotate di massa e le cose si complicano un po'.

 

La prima grande differenza è che la tensione della fune non è più la stessa a destra e a sinistra, ma cambia e va pertanto distinta nelle equazioni. Le tensioni poi esercitano dei momenti torcenti sulla carrucola e vanno tenuti in considerazione.

 

 

Diagramma forze completo macchina di Atwood

 

 

Procediamo per ordine e cominciamo con lo scrivere l'equazione delle forze per il corpo 1, supponendo come prima che sia lui a scendere.

 

 m_{1}g - T_{1} = m_{1}a

 

Abbiamo di fatto la stessa equazione ricavata nel caso ideale, dove però abbiamo aggiunto un pedice 1 alla tensione. Facciamo la stessa cosa anche per il secondo corpo.

 

 T_{2} - m_{2}g = m_{2}a

 

La carrucola invece è soggetta a due momenti contrapposti: la tensione 1 infatti tende a farla a girare in senso orario mentre la tensione 2 in senso antiorario. Le due tensioni però si applicano entrambe al bordo della carrucola e hanno un braccio uguale al raggio r. I due momenti delle forze vanno sottratti e la differenza uguagliata al prodotto del momento di inerzia per l'accelerazione angolare.

 

 T_{1}r - T_{2}r = I \alpha

 

Se consideriamo la carrucola come un disco, il suo momento d'inerzia è:

 

 I = \frac{1}{2}m_{c}r^{2}

 

e la sua accelerazione angolare in funzione di quella tangenziale è:

 

 \alpha = \frac{a}{r}

 

Dunque l'equazione dei momenti delle forze per la carrucola diventa:

 

 T_{1}r - T_{2}r = \frac{1}{2}m_{c}r^{2} \cdot \frac{a}{r}\ \ \ \to\ \ \  T_{1} - T_{2} = \frac{1}{2}m_{c}a

 

Adesso abbiamo in mano tre equazioni in tre incognite che possiamo mettere a sistema:

 

 \begin{cases} m_{1}g - T_{1} = m_{1}a \\ T_{2} - m_{2}g = m_{2}a \\ T_{1} - T_{2} = \frac{1}{2}m_{c}a \end{cases}

 

Risolvendo il sistema con semplici calcoli algebrici giungiamo alle formule per la macchina di Atwood con una carrucola dotata di massa, grazie alle quali potremo calcolare l'accelerazione e le tensioni della fune

 

 \begin{cases} a = g\frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2} + \frac{1}{2}m_{c}} \\ \\ T_{1} = m_{1}g \frac{2m_{2} + \frac{1}{2}m_{c}}{m_{1} + m_{2} + \frac{1}{2}m_{c}} \\ \\ T_{2} = m_{2}g \frac{2m_{1} + \frac{1}{2}m_{c}}{m_{1} + m_{2} + \frac{1}{2}m_{c}} \end{cases}

 

In tali equazioni si vede subito che, se consideriamo nulla la massa m_c della carrucola, torniamo ad avere le stesse equazioni che abbiamo visto nel caso ideale e le due tensioni assumono la stessa identica espressione.

 

 

Applicazione sperimentale della macchina di Atwood

 

Con questo apparato sperimentale, George Atwood riuscì a studiare il moto accelerato e a calcolare l'accelerazione di gravità misurando i tempi con un pendolo e utilizzando due masse molto simili in valore, cosicché l'accelerazione del sistema fosse sufficientemente piccola da permettergli di ottenere delle misurazioni accurate.

 

Inoltre, la macchina di Atwood aveva il pregio di ridurre gli attriti rispetto ad un piano inclinato, riducendo così anche gli errori di misura.

 

 


 

Non perdetevi la prossima lezione: parleremo dell'oscillatore armonico! Nel frattempo, se siete in cerca di esercizi svolti, non dimenticate che qui su YM ci sono tantissimi esercizi risolti e commentati nel dettaglio. Potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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