Carrucole con massa non trascurabile

Nella lezione dedicata alle carrucole, avevamo subito precisato di star considerando oggetti privi di massa e di attrito. Ora, sebbene negli esercizi meno complessi l'attrito continui ad essere trascurato, vogliamo invece considerare carrucole dotate di massa, come effettivamente è nella realtà.

 

In questo modo lo studio dei sistemi provvisti di una o più carrucole cambia, e non poco. Tra un attimo vedremo infatti che non abbiamo potuto considerare la massa già nella prima lezione dedicata alle carrucole perché non eravamo ancora a conoscenza delle leggi di Dinamica rotazionale per i corpi rigidi. Le carrucole infatti ruotano attorno ad un asse fisso passante per il loro centro e questo influisce sulle equazioni da scrivere per risolvere i problemi.

 

Sistemi con carrucole dotate di massa (ma senza attrito)

 

Vediamo un esempio su una carrucola con massa non trascurabile, per capire che differenza c’è rispetto al modello ideale. Abbiamo una carrucola (approssimabile ad un disco) di massa m1 = 3 kg e raggio r = 12 cm alla quale è stata avvolta una corda inestensibile e di massa trascurabile. Ad una estremità della corda è appeso un corpo di massa m2 = 6 kg che si muove verso il basso, srotolando la corda e facendo così ruotare la carrucola. Qual è l'accelerazione con cui il corpo scende? E qual è il valore della tensione della corda?

 

Come sempre, partiamo da un diagramma delle forze.

 

 

Carrucola con massa non trascurabile

 

 

Consideriamo il corpo appeso; esso è soggetto a due forze: la forza peso diretta verticalmente verso il basso e la tensione della fune diretta invece verso l'alto.

 

Applichiamo il secondo principio della Dinamica per calcolare la forza agente sul blocco

 

\vec{F}_P+\vec{T}=m_2\vec{a}

 

Poiché stiamo ragionando lungo una sola direzione, possiamo considerare come verso delle coordinate crescenti quello diretto verso il basso e specificare i segni

 

 m_{2}g - T = m_{2}a

 

La differenza tra le due forze ci dà la forza risultante, data dalla seconda legge di Newton (\vec{F}=m\vec{a}). E questo è quello che già sapevamo fare, quindi fin qui niente di nuovo.

 

Ora passiamo a considerare la carrucola: essa è soggetta alla tensione della fune applicata ad un punto che si trova sul bordo. Questa forza esercita quindi un momento torcente dato dal prodotto della tensione per il raggio, che in questo caso è il braccio, ovvero la distanza tra il fulcro (il centro della carrucola) e il punto di applicazione della forza.

 

\vec{M}=\vec{r}\times\vec{T}

 

Poiché il raggio è perpendicolare alla direzione della tensione, il modulo del prodotto vettoriale è dato da

 

M=rT\sin(90^o)=rT

 

In riferimento alla figura, il vettore \vec{M} è perpendicolare al piano della carrucola ed entrante nello schermo. È molto importante capire non solo quali forze si applicano alla carrucola, ma anche qual è il loro esatto punto di applicazione per poter individuare correttamente il momento torcente.

 

Ora ci dobbiamo ricordare che il momento della forza è anche uguale al prodotto del momento di inerzia per l'accelerazione angolare:

 

 M = I \alpha

 

Abbiamo così due diverse formule per il momento della forza. Eguagliamole:

 

 Tr = I \alpha

 

Sappiamo poi che il momento d'inerzia di un disco è dato da

 

 I = \frac{1}{2}m_{1}r^{2}

 

Mentre l'accelerazione angolare \alpha è data dal rapporto tra l'accelerazione tangenziale ed il raggio:

 

 \alpha = \frac{a}{r}

 

Sostituiamo il tutto nell'equazione dei momenti ed otteniamo

 

\\ Tr=\frac{1}{2}m_1r^2\cdot \frac{a}{r}\\ \\ \\ Tr=\frac{1}{2}m_1r\cdot a\\ \\ \\ T=\frac{1}{2}m_1a

 

Disponiamo di due equazioni: questa che abbiamo appena scritto e quella delle forze sul corpo appeso che abbiamo ricavato in precedenza. Possiamo quindi metterle a sistema:

 

 \begin{cases} m_{2}g - T = m_{2}a \\ T = \frac{1}{2}m_{1}a \end{cases}

 

Le incognite sono due: la tensione della fune e l'accelerazione. Da notare che, in assenza di attriti e slittamenti della corda sulla carrucola, l'accelerazione tangenziale della carrucola è uguale a quella lineare del corpo che scende, per cui si tratta della stessa grandezza che compare in entrambe le equazione e non va distinta. Possiamo così sostituire la tensione nella prima equazione e determinare le grandezze richieste.

 

\\ \begin{cases} m_{2}g - \frac{1}{2}m_{1}a = m_{2}a \\ T = \frac{1}{2}m_{1}a \end{cases}\\ \\ \\ \begin{cases} 2m_{2}g - m_{1}a = 2m_{2}a \\ T = \frac{1}{2}m_{1}a \end{cases}

 

da cui

 

 \begin{cases} a = \frac{2m_{2}g}{2m_{2} + m_{1}} = 7,85 \: \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^{2}} \\ T = \frac{1}{2}m_{1}a = 11,8 \mbox{ N}\end{cases}

 

 

Osservazioni sui sistemi con carrucole di massa non trascurabile

 

1) Riepiloghiamo le caratteristiche delle carrucole con massa non trascurabile:

 

- nelle applicazioni si trascura l'attrito;

 

- l'accelerazione viene trasmessa inalterata.

 

 

2) I risultati trovati non dipendono dal raggio della carrucola ma sola dalla sua massa. Inoltre l'accelerazione del corpo è minore di quella di gravità, ovvero di quella che avrebbe se fosse in caduta libera o se avessimo trascurato la massa della carrucola.

 

 

3) Infine, osserviamo che la carrucola è soggetta anche alla forza peso e alla reazione vincolare. Entrambe le forza però si esercitano sul centro di massa che, nel caso di un corpo omogeneo e simmetrico, coincide con il centro geometrico. Pertanto nessuna di queste due forze, che si controbilanciano perfettamente, esercita un momento torcente sulla carrucola e per questo motivo non vanno considerate.

 

 


 

Ora che abbiamo esteso lo studio delle carrucole al caso in cui la massa non è trascurabile, possiamo procedere con un'ulteriore modello che è un vero e proprio classico nello studio della Dinamica: la macchina di Atwood. Nel frattempo, se siete in cerca di esercizi svolti, non dimenticate che YM è pieno di esercizi risolti e commentati nel dettaglio. Potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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