Conservazione del momento angolare

Sappiamo che il momento angolare è il corrispondente nei moti rotatori della quantità di moto per i moti traslatori. Se esiste una legge di conservazione per la quantità di moto, allora è quantomeno lecito domandarsi se esista una legge di conservazione del momento angolare oppure no...

 

Alla luce della perfetta analogia tra la Dinamica traslazionale e la Dinamica rotazionale, la risposta è ovviamente scontata. Qui di seguito trattiamo il principio di conservazione del momento angolare e ci soffermiamo sulle condizioni che ne garantiscono la validità e sulle sue applicazioni pratiche.

 

Principio di conservazione del momento angolare

 

Il principio di conservazione del momento angolare è facilmente ricavabile dal teorema del momento angolare, il quale stabilisce che, per un sistema di particelle, il momento totale delle forze esterne è uguale alla variazione del momento angolare nel tempo.

 

 \sum{\vec{M}_{est}} = \frac{d \vec{L}}{dt}

 

Da questa equazione si vede facilmente che, se il momento risultante delle forze esterne agenti sul sistema è nullo, allora è nulla anche la derivata del momento angolare nel tempo. Poiché la derivata ha il significato di variazione, tale ipotesi equivale a richiedere che la variazione nel tempo del momento angolare sia uguale a zero.

 

 \frac{d \vec{L}}{dt} = 0

 

In altri termini, il momento angolare resta costante e dunque il momento angolare iniziale è uguale a quello finale.

 

\vec{L}_i=\vec{L}_f

 

Possiamo quindi scrivere l'enunciato del principio di conservazione del momento angolare: se la somma dei momenti delle forze esterne agenti su un sistema di particelle è nulla, allora il momento angolare del sistema si conserva.

 

 

Attenzione all'ipotesi!

 

Attenzione: il principio di conservazione del momento angolare è valido solo se la somma dei momenti delle forze esterne è nullo. Se questa condizione non è verificata, allora il principio non è più valido.

 

Notiamo poi che anche in questo caso il parallelismo rispetto ai moti traslatori continua a sussistere: infatti la quantità di moto di un sistema di particelle si conserva a patto che la somma delle forze esterne sia nulla.

 

Significato della conservazione del momento angolare

 

La legge di conservazione del momento angolare è valida in una grande varietà di fenomeni fisici, dai moti dei pianeti al moto delle particelle subatomiche. Nel caso di corpi rigidi in rotazione una conseguenza è data dalla variazione di velocità angolare al variare del momento di inerzia.

 

Facciamo un esperimento semplicissimo alla portata di chiunque: ci basta avere solo una sedia in grado di ruotare su se stessa. Sediamoci e diamo una spinta in modo da metterci in rotazione. Dopo aver acquisito una certa velocità, trascurando gli attriti, non ci sono altri momenti delle forze esterne che intervengono, pertanto il momento angolare si deve conservare. Ovviamente non dobbiamo dare ulteriori spinte, altrimenti la condizione di conservazione del momento angolare verrebbe a mancare.

 

Ricordiamoci che il momento angolare di un corpo in rotazione attorno ad un asse fisso (ad esempio l'asse z) è dato dal prodotto del momento di inerzia per la velocità angolare

 

 L_{z} = I \omega

 

Se il momento angolare si deve conservare, significa che possiamo scrivere:

 

 I_{i} \omega_{i} = I_{f} \omega_{f}

 

Ora ragioniamo su quanto abbiamo appena scritto. Il momento d'inerzia non dipende solamente dalla massa del corpo, ma anche dalla sua distribuzione attorno all'asse di rotazione. Se giriamo sulla sedia con le braccia poggiate sul petto, abbiamo un momento d'inerzia minore perché la massa è maggiormente raccolta attorno all'asse di rotazione verticale. In questo modo, nel corso della rotazione, abbiamo un determinato valore di velocità angolare.

 

Se però allarghiamo le braccia, stiamo spostando parte della massa ad una distanza maggiore dall'asse di rotazione, per cui il momento di inerzia aumenta. La legge di conservazione del momento angolare implica quindi che la velocità angolare debba diminuire (per cui giriamo più lentamente).

 

In sintesi, nelle condizioni in cui vige il principio di conservazione del momento angolare, il prodotto del momento di inerzia per la velocità angolare deve dare sempre lo stesso risultato: se una grandezza aumenta, l'altra deve necessariamente diminuire per controbilanciare la variazione della prima.

 

 

Esempio

 

Quando una pattinatrice sul ghiaccio esegue una trottola, si stringe attorno all'asse di rotazione per girare su se stessa più velocemente, mentre allarga le braccia per rallentare il proprio moto rotatorio. Ruotando molto velocemente, nel loro caso questo principio è davvero evidente. :)

 

Conservazione delle componenti del momento angolare

 

Esattamente come nel caso della quantità di moto, anche per il momento angolare è possibile che si conservi una sola delle sue componenti. Poiché il momento angolare è un vettore nello spazio, è dotato di tre componenti: una per ciascun asse cartesiano. In particolare nulla vieta che la somma dei momenti torcenti esterni sia nulla lungo un solo asse, con la conseguente conservazione della sola componente del momento angolare lungo tale asse. Una situazione di questo tipo è del tutto simile all'esempio della biglia che urta contro la sponda del tavolo da biliardo vista nella lezione sulla conservazione della quantità di moto.

 

 


 

Con questo è tutto. A partire dalla lezione successiva inizieremo ad applicare la teoria di Dinamica rotazionale vista fin qui in modelli fisici "notevoli" e partiremo dalle carrucole con massa non trascurabile. Nel frattempo, se siete in cerca di esercizi svolti, potete usare la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono tantissimi esercizi risolti e commentati nel dettaglio. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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