Forze centrali

Introduciamo qui un concetto teorico su una particolare categorie di forze, dette forze centrali, che incontreremo più avanti e nello specifico quando parleremo di forza gravitazionale e forza elettrica.

 

In particolare, daremo la definizione di forza centrale e snoccioleremo tutte le proprietà e le formule che le caratterizzano.

 

Definizione di forza centrale

 

Per definizione le forze centrali sono forze che presentano due caratteristiche peculiari:

 

- la direzione della forza deve sempre passare per un punto detto centro (da qui il nome di forze centrali);

 

- il modulo della forza dipende solo dalla distanza dal centro.

 

Un punto soggetto ad una forza centrale può compiere una traiettoria qualsiasi. Prendiamo in considerazione un punto P che si muove come in figura.

 

 

Forze centrali

 

Proprietà delle forze centrali

 

In accordo con la definizione ed in riferimento alla precedente figura, il vettore forza nei punti P e P’ avrà direzioni radiali, cioè direzioni sempre passanti per il centro O.

 

I moduli delle forze agenti in P ed in P' dovranno inoltre essere diversi, perché diversa è la distanza dal centro dai punti P e P’.

 

Notiamo subito però, che indipendentemente dalla posizione che il punto assume lungo la sua traiettoria, una forza centrale è sempre parallela al vettore radiale \vec{r}. Dalla definizione segue quindi che il loro prodotto vettoriale tra il vettore forza ed il vettore radiale deve essere nullo (in accordo con la definizione di prodotto vettoriale)

 

 \vec{r} \times \vec{F} = 0

 

Ma il prodotto vettoriale che abbiamo appena scritto corrisponde alla definizione di momento della forza, per cui:

 

 \vec{M} = 0

 

Ora ci dobbiamo anche ricordare che, grazie al teorema del momento angolare, il momento della forza è uguale alla variazione nel tempo del momento angolare, secondo la relazione:

 

 \vec{M} = \frac{d \vec{L}}{dt}

 

Ma visto che abbiamo appena scoperto che il momento della forza è nullo, allora vale anche:

 

 \frac{d \vec{L}}{dt} = 0

 

Dalla definizione di derivata è dunque immediato capire che in un campo di forze centrali il momento angolare resta costante

 

\vec{L}=\mbox{ costante}

 

Ricordate che, dal punto di vista vettoriale, il momento angolare è sempre perpendicolare al piano individuato dai vettori posizione \vec{r} e velocità \vec{v}. Se però \vec{L} rimane costante, allora non cambia nemmeno la sua direzione e questo implica che un punto soggetto a forze centrali si muove lungo un traiettoria che giace su un piano fisso contenente il centro O.

 

Per fare un esempio, la forza di attrazione gravitazionale che si esercita tra la Terra e il Sole è un esempio di forza centrale con centro il Sole. La Terra infatti si muove sempre sullo stesso piano contenete il centro del Sole.

 

Forze centrali e velocità areolare

 

In riferimento alla figura, consideriamo l'area che il raggio vettore \vec{r} spazza quando il punto di sposta da P a P’. Per variazioni infinitesime dell'angolo \theta l'area è approssimabile ad un triangolo con base pari al prodotto rd\theta (per la definizione di radiante) e l'altezza è r.

 

Di conseguenza l'area infinitesima che si ottiene è:

 

 dA = \frac{1}{2}r d \theta r = \frac{1}{2}r^{2} d \theta

 

La variazione dell'area nel tempo viene detta velocità areolare ed è data da:

 

 \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2}r^{2} \frac{d \theta}{dt}

 

Sappiamo poi che è possibile esprimere il momento angolare nella forma

 

 L = mr^{2}\omega

 

e ricordando la definizione di velocità angolare come derivata dello spostamento angolare rispetto al tempo

 

 L = mr^{2} \frac{d \theta}{dt}

 

Riscriviamo tale formula come

 

 r^{2} \frac{d \theta}{dt} = \frac{L}{m}

 

e richiamando la definizione di velocità areolare, risulta che la variazione dell'area nel tempo è

 

 \frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m}

 

Ma se il momento angolare è costante, allora lo è anche la velocità areolare. In un campo di forze centrali il punto descrive un traiettoria che mantiene costante la velocità areolare. È quello che si osserva nei moti dei pianeti e ciò di cui si era accorto sperimentalmente Keplero quando formulò la sua seconda legge (che vedremo in una lezione dedicata).

 

 


 

Nella prossima puntata ci occuperemo del principio di conservazione del momento angolare. Prima di procedere potete consultare diversi esercizi svolti presenti qui su YM, non dovete fare altro che servirvi della barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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