Legge fondamentale della Dinamica rotazionale

Abbiamo sempre trovato dei parallelismi tra le leggi della dinamica dei moti traslatori con quelli della dinamica dei moti rotatori. Ora ci domandiamo: esiste un analogo della seconda legge di Newton per i corpi rigidi in rotazione?

 

La risposta è ovviamente sì. Il corrispondente rotazionale per corpi rigidi viene denominato legge fondamentale della Dinamica rotazionale; in questa lezione oltre a proporre la relativa formula vedremo come ricavarla e la commenteremo in ogni suo aspetto. ;) 

 

Moti rotatori e legge fondamentale della Dinamica rotazionale

 

Sappiamo che, per un corpo rigido in moto traslatorio, la forza risultante è uguale alla massa del corpo per l'accelerazione del suo centro di massa.

 

 \sum{\vec{F}} = m \vec{a}_{cm}

 

Questa è di fatto la versione per i corpi rigidi della seconda legge di Newton \vec{F}=m\vec{a} che avevamo enunciato per i punti materiali.

 

L'equivalente rotazionale della precedente formula viene chiamato legge fondamentale della Dinamica rotazionale e stabilisce che la somma dei momenti delle forze agenti su un corpo in rotazione è uguale al prodotto tra il momento di inerzia del corpo per l'accelerazione angolare.

 

 \sum{M_{z}} = I \alpha

 

Come ricavare la formula della legge fondamentale della Dinamica rotazionale

 

Per ricavare la formula partiamo dall'enunciato del teorema del momento angolare

 

 \sum{\vec{M}} = \frac{d \vec{L}}{dt}

 

Consideriamo solo il secondo membro dell'equazione e richiamiamo la relazione secondo la quale la componente asssiale L_z del momento angolare di un corpo rigido in rotazione attorno all'asse z è uguale al prodotto del momento di inerzia calcolato rispetto all'asse scelto per la velocità angolare

 

 L_{z} = I \omega

 

Deriviamo rispetto al tempo la componente assiale L_z

 

 \frac{dL_{z}}{dt} = \frac{d(I \omega)}{dt} = I \frac{d \omega}{dt} = I \alpha

 

Nel secondo passaggio abbiamo portato fuori dal segno di derivata il momento d'inerzia, che è costante a patto che l'asse di rotazione si mantenga fisso; nel terzo passaggio ci siamo ricordati che la derivata della velocità angolare nel tempo corrisponde all'accelerazione angolare \alpha.

 

Ora non ci resta che concludere: grazie al teorema del momento angolare sappiamo che la derivata rispetto al tempo della componente assiale del momento angolare è uguale alla somma dei momenti della forza lungo l'asse z. Grazie a questa osservazione possiamo scrivere

 

 \sum{M_{z}} = I \alpha

 

Osservazioni sulla legge fondamentale della Dinamica rotazionale

 

1) Abbiamo ripetuto più volte che la legge fondamentale della Dinamica rotazionale è l'analogo rotazionale della seconda legge di Newton. Non è difficile intuirne il motivo: rispetto alla legge di Newton, che si applica ai moti rotatori

 

\sum\vec{F} = m\vec{a}

 

la somma delle forze è stata sostituita dalla somma dei momenti, la massa dal momento di inerzia e l'accelerazione lineare da quella angolare.

 

 

2) Il momento risultante della forza imprime un'accelerazione al corpo che si muoverà, rispetto all'angolo di rotazione \theta, di moto circolare uniformemente accelerato, secondo le leggi che abbiamo già studiato in Cinetmatica.

 

In modo analogo rispetto alla seconda legge di Newton, inoltre, se il momento risultante è nullo allora è nulla anche l'accelerazione angolare e il corpo mantiene il proprio stato:

 

- se era in quiete nel sistema di riferimento scelto, allora continuerà a rimanere in quiete;

 

- se invece stava già ruotando attorno ad un asse con una certa velocità angolare, allora continuerà a muoversi con la stessa velocità angolare (moto circolare uniforme), fino a quando non interverrà un momento esterno a mutare il suo stato di moto imprimendogli un'accelerazione angolare.

 

Come vedete, il discorso è perfettamente speculare a quello fatto per la seconda legge della dinamica di Newton ma, come sempre, le grandezza relative ai moti traslatori devono essere sostituite dalle corrispondenti grandezze rotazionali.

 

 

3) Da questa legge si vede bene che il momento di inerzia è quella grandezza che, come la massa nei moti traslatori, tenta di opporsi ad ogni variazione dello stato di moto del corpo, essendo inversamente proporzionale all'accelerazione angolare. A parità di momento M, un corpo con momento d'inerzia maggiore è sottoposto ad un'accelerazione angolare minore.

 

 


 

Non ci manca molto per completare il quadro della Dinamica rotazionale. ;) Nella lezione successiva tratteremo le forze centrali, ma se prima di proseguire lo studio volete esercitarvi un po' vi consigliamo di usare la barra di ricerca interna e di mettervi alla prova con le migliaia di esercizi svolti presenti su YM.

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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