Teorema del momento angolare

Nella lezione precedente abbiamo dato la definizione di momento angolare di un punto materiale e abbiamo spiegato che tale grandezza è l'equivalente rotazionale della quantità di moto. Sappiamo d'altronde che sotto opportune ipotesi la forza è la derivata del momento angolare, e che il corrispondente della forza in Dinamica rotazionale è il momento di una forza.

 

Possiamo allora immaginare che tra il momento angolare ed il momento di una forza valga una relazione analoga? Certamente, ce lo garantisce il teorema del momento angolare. :)

 

Il teorema del momento angolare

 

Prima di enunciare il teorema del momento angolare facciamo una piccola premessa che ci permetta di inquadrarne il contesto.

 

Abbiamo visto che il momento angolare è dato dal prodotto vettoriale tra il vettore che congiunge il polo al punto materiale in movimento (\vec{r}) e la quantità di moto del punto (\vec{p}).

 

\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}

 

 

Esempio di momento angolare costante

 

Nel caso più semplice di un moto circolare uniforme, il polo è il centro della circonferenza e pertanto il modulo r del vettore posizione rimane costante, poiché coincide con la lunghezza del raggio. Trattandosi poi di un moto uniforme, il modulo della velocità tangenziale v del punto non cambia e di conseguenza anche la sua quantità di moto resta invariata.

 

Nel caso di un moto circolare uniforme il modulo del momento angolare resta costante e il suo valore può essere calcolato indipendentemente dalla particolare posizione del punto lungo la traiettoria circolare descritta dal suo moto.

 

 

Momento angolare variabile e teorema del momento angolare

 

In generale non ci troveremo sempre nella situazione più semplice. Quando una particella si muove rispetto ad un punto non è detto che debba per forza mantenere la medesima distanza dal polo e non è nemmeno detto che la sua velocità (e quindi la sua quantità di moto) debba necessariamente mantenersi costante. Insomma, il momento angolare può variare nel tempo perché possono variare le grandezze che lo definiscono.

 

È qui che interviene il teorema del momento angolare, il quale stabilisce che per far sì che il momento angolare di un punto materiale vari nel tempo è necessario che intervenga il momento di una forza, secondo la relazione 

 

\vec{M}_{ris}=\frac{d \vec{L}}{dt}

 

L'equazione è valida a una condizione: dobbiamo ragionare in un sistema di riferimento inerziale in cui il polo è fermo.

 

Il teorema del momento angolare mette quindi in relazione il momento di una forza ed il momento angolare, e stabilisce che la somma dei momenti delle forze agenti sulla particella (momento risultante) è uguale alla variazione del momento angolare nel tempo. Notate che il risultato si inserisce perfettamente nel parallelo tra le grandezze rotazionali e quelle traslazionali, infatti la precedente relazione è l'analogo rotazionale della relazione tra forza e quantità di moto

 

\vec{F}_{ris}=\frac{d\vec{p}}{dt}

 

Teorema del momento angolare per un sistema di particelle

 

Nel caso di un sistema di più particelle, l'equazione del teorema del momento angolare resta valida ma vanno considerati solo i momenti delle forze esterne perché quelle interne sono ininfluenti. Per un sistema di particelle la formula precedente può quindi essere riscritta più precisamente in questo modo:

 

\sum\vec{M}_{est}=\frac{d \vec{L}}{dt}

 

Dimostrazione del teorema del momento angolare

 

Come si arriva a dimostrare il teorema del momento angolare? Innanzitutto, dobbiamo partire dalla definizione:

 

\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}

 

Se vogliamo vedere come varia il momento angolare del tempo, dobbiamo calcolarne la derivata rispetto a t

 

 \frac{d \vec{L}}{dt} = \frac{d(\vec{r} \times \vec{p})}{dt}

 

Per chi non lo sapesse, il prodotto vettoriale impone l'utilizzo della regola di derivazione del prodotto

 

 \frac{d \vec{L}}{dt} = \frac{d \vec{r}}{dt} \times \vec{p} + \vec{r} \times \frac{d \vec{p}}{dt}

 

Non dimentichiamoci che stiamo lavorando con dei prodotti vettoriali e che l'ordine con cui vengono scritti non va modificato, trattandosi di un'operazione non commutativa.

 

Come sappiamo la quantità di moto è data dal prodotto della massa per la velocità, pertanto l'ultima derivata può essere riscritta nella seguente forma:

 

 \frac{d \vec{L}}{dt} = \frac{d \vec{r}}{dt} \times \vec{p} + \vec{r} \times \frac{d (m\vec{v})}{dt}

 

Semplifichiamo la dimostrazione considerando un'ipotesi aggiuntiva, e supponiamo che la massa rimanga costante nel tempo

 

 \frac{d \vec{L}}{dt} = \frac{d \vec{r}}{dt} \times \vec{p} + \vec{r} \times m \frac{d \vec{v}}{dt}

 

Ora, se consideriamo il polo fermo nel sistema di riferimento scelto, il termine dr/dt rappresenta la velocità con cui il punto materiale si muove rispetto al polo.

 

 \frac{d \vec{L}}{dt} = \vec{v} \times \vec{p} + \vec{r} \times m \frac{d \vec{v}}{dt}

 

Ma allora il primo prodotto vettoriale della somma è nullo perché la velocità e la quantità di moto sono sempre vettori paralleli, e il prodotto vettoriale tra vettori paralleli è nullo. In questo modo sopravvive solo il secondo termine della somma:

 

 \frac{d \vec{L}}{dt} = \vec{r} \times m \frac{d \vec{v}}{dt}

 

Ma la derivata della velocità rispetto al tempo non è altro che l'accelerazione del punto materiale

 

 \frac{d \vec{L}}{dt} = \vec{r} \times m \vec{a}

 

La seconda legge di Newton ci dice che la massa per l’accelerazione è uguale alla forza:

 

 \frac{d \vec{L}}{dt} = \vec{r} \times \vec{F}

 

Il prodotto vettoriale che ci è rimasto dovrebbe ricordarci qualcosa: si tratta proprio della definizione di momento della forza. Eccoci giunti finalmente alla tesi del teorema del momento angolare:

 

\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{M}_{ris}

 

Si intende, come abbiamo scritto all'inizio, che il momento della forza è quello risultante tra tutti gli eventuali momenti delle forze che agiscono sulla particella.

 

Per estendere la dimostrazione al caso generale in cui la massa non è costante nel tempo, è sufficiente ripercorrere la precedente dimostrazione e ricordare la relazione tra forza e quantità di moto:

 

\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}

 

Così facendo si giunge facilmente alla tesi. :)

 

 


 

Qui abbiamo finito. ;) Ci vediamo nella lezione successiva, in cui tratteremo il momento angolare per i corpi rigidi.

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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