Momento angolare

Il momento angolare è un'ulteriore grandezza che viene definita nel contesto della Dinamica rotazionale e che, come vedremo tra un attimo, al pari del momento di una forza e del momento di inerzia rispetta il parallelo con le grandezze traslazionali che abbiamo introdotto nelle prime lezioni di Dinamica.

 

Oltre a fornire la definizione di momento angolare di un punto materiale ci soffermeremo sulla relativa formula e su tutte le considerazioni fisiche che permettono di comprenderne il significato. Più avanti avremo modo di vedere come estendere la nozione di momento angolare nel caso di un corpo rigido.

 

Definizione e formule del momento angolare

 

Per introdurre la definizione di momento angolare consideriamo una particella che si muove rispetto ad un punto detto polo e che possiede una certa quantità di moto. Si definisce il momento angolare del punto come il prodotto vettoriale tra il vettore che congiunge il polo con la posizione della particella ed il vettore quantità di moto.

 

In formule scriveremo:

 

 \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}

 

L'unità di misura del momento angolare \vec{L} è data dal prodotto tra chilogrammo e metro al quadrato fratto secondo, e non dispone di una denominazione specifica

 

\frac{\mbox{kg}\cdot \mbox{m}^2}{\mbox{s}}

 

 

Modulo, direzione e verso del momento angolare

 

Essendo definito mediante un prodotto vettoriale, il momento angolare è una grandezza vettoriale che ha direzione perpendicolare al piano individuato dai vettori \vec{r},\vec{p} e punto di applicazione che, per convenzione, coincide con il punto di applicazione del vettore \vec{r} (dunque coincide con il polo).

 

Il verso del momento angolare viene individuato grazie alla regola della mano destra: ponendo il pollice lungo la direzione del primo vettore \vec{r} e l'indice lungo il vettore \vec{p}, sarà il medio ad indicarci qual è il verso di \vec{L}.

 

Ricordatevi sempre che il prodotto vettoriale non è commutativo e che quindi bisogna sempre rispettare l'ordine con cui le grandezze posizione e quantità di moto compaiono nella formula.

 

Se siamo interessati solo al modulo del momento angolare possiamo fare riferimento alla formula:

 

L=rp\sin(\alpha)

 

dove \alpha è l'angolo compreso tra i vettori posizione (relativa al polo) e quantità di moto. Ricordando che la quantità di moto \vec{p} è definita come il prodotto della massa per la velocità, possiamo anche scrivere la formula

 

L=rmv\sin(\alpha)

 

L'angolo è quello compreso tra i vettori \vec{r},\vec{p} o equivalentemente quello compreso tra \vec{r},\vec{v}, infatti la quantità di moto e la velocità sono vettori paralleli e concordi.

 

 

Momento angolare

 

 

Osservazione: componente perpendicolare della quantità di moto e momento angolare

 

Ciò che contribuisce numericamente al calcolo del momento angolare non è in generale il vettore quantità di moto, quanto piuttosto la sua componente perpendicolare al vettore posizione. Infatti, in accordo con la Trigonometria, tale componente ha modulo dato da

 

p_{\perp}=p\sin(\alpha)

 

La componente parallela della quantità di moto non ha invece alcun effetto sul valore del momento angolare. Ragionando in quest'ottica possiamo anche scrivere

 

L = rp_{\perp} = rmv_{\perp}

 

Il seno dell'angolo \alpha modula il valore del momento angolare a seconda dell'angolo compreso tra i vettori \vec{r},\vec{p}. Ci sono due casi particolari che vale la pena di mettere in evidenza:

 

- se i vettori sono perpendicolari (e quindi \alpha=90^o oppure \alpha=270^o), come nel caso di un punto che si muove lungo una traiettoria circolare, il seno dell'angolo è rispettivamente uguale a 1 e a -1 ed il momento angolare assume il valore massimo e minimo.

 

- Se invece \vec{r},\vec{p} sono paralleli (per \alpha=0 vettori concordi e per \alpha=180^o vettori discordi), il seno dell'angolo è zero e così il momento è nullo.

 

Per qualunque altro valore dell'angolo \alpha, il momento angolare assume valori intermedi.

 

Momento angolare di un sistema di particelle

 

Nel caso di un sistema di n particelle, tutte in rotazione attorno allo stesso punto, il momento angolare totale del sistema è dato dalla somma vettoriale dei momenti angolari delle singole particelle costituenti il sistema stesso.

 

\begin{matrix}\vec{L} &=& \vec{L}_1&+&\vec{L}_2&+&...&+&\vec{L}_n\\ \\ &=& \vec{r}_1\times\vec{p}_1&+&\vec{r}_2\times\vec{p}_2&+&...&+&\vec{r}_n\times\vec{p}_n\end{matrix}

 

Volendo usare il simbolo di sommatoria

 

\begin{matrix}\vec{L}&=&\sum_{i = 1}^{n}&{\vec{L_{i}}}\\ & & & \\ &=&\sum_{i = 1}^{n}&{\vec{r}_{i} \times \vec{p}_{i}}\end{matrix}

 

Corrispondente traslazionale del momento angolare

 

Per proseguire il parallelo tra le grandezze relative al moto di traslazione e quelle riferite al moto di rotazione, il momento angolare è il corrispondente della quantità di moto.

 

forza momento di una forza
massa momento di inerzia
quantità di moto momento angolare

 

Nella fattispecie se ad un punto in moto rettilineo possiamo associare una quantità di moto dipendente dalla sua massa e dalla sua velocità, ad un corpo in moto curvilineo possiamo associare un momento angolare, che non a caso viene chiamato anche momento della quantità di moto.

 

Il parallelo non si ferma qui. Così come la quantità di moto si conserva sotto certe condizioni, così esiste una legge di conservazione del momento angolare, che vedremo in una lezione dedicata proprio a questo importante principio.

 

 


 

Nelle lezioni successive approfondiremo il discorso trattando il teorema del momento angolare ed il momento angolare di un corpo rigido. Nel frattempo se siete in cerca di esercizi svolti sul momento angolare non esitate e servitevi della barra di ricerca interna; qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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