Conservazione dell’energia nel moto di puro rotolamento

In questa lezione vogliamo applicare il principio di conservazione dell'energia meccanica al moto rototraslatorio ed in particolare al caso dei corpi che rotolano senza strisciare, vale a dire i corpi in puro rotolamento.

 

In particolare vedremo che nell'ipotesi di puro rotolamento vige il principio di conservazione dell'energia; spiegheremo inoltre come usare la formula del principio di conservazione per studiare il moto dei corpi in puro rotolamento da un punto di vista energetico, ricavando un po' di formule utili negli esercizi e nelle applicazioni.

 

Principio di conservazione dell'energia per il puro rotolamento

 

Riprendiamo le ipotesi introdotte nella lezione precedente, in cui abbiamo fornito la formula per l'energia cinetica di un corpo in puro rotolamento. Sottolineiamo e ribadiamo che consideriamo solamente corpi che rotolano senza strisciare, di sezione circolare ed omogenei, perché altrimenti le cose si complicherebbero.

 

Sappiamo che, quando un corpo rigido rotola senza strisciare, la sua energia cinetica è costituita dalla somma di due termini: uno dovuto al solo moto di rotazione e l'altro al solo moto di traslazione, secondo la legge:

 

 K = \frac{1}{2}I_{cm} \omega^{2} + \frac{1}{2}mv^{2}

 

Per trattare la conservazione dell'energia in un moto di puro rotolamento faremo affidamento ad un esempio guida.

 

Esempio: corpo che rotola lungo un piano inclinato

 

A titolo di esempio vogliamo studiare il moto di un cilindro di metallo che, partendo da fermo dalla sommità di un piano inclinato, rotola giù. Vogliamo determinare la velocità con cui il cilindro raggiunge la base del piano inclinato.

 

Possiamo affrontare il problema dal punto di vista energetico piuttosto che con altre considerazioni, che risulterebbero inevitabilmente più complesse.

 

Se non ci sono forze dissipative l'energia meccanica si conserva. Nel nostro caso l'attrito non è presente, infatti il corpo rotola senza strisciare, e ciò implica che l'energia meccanica che il cilindro possiede quando si trova sul punto più alto del piano inclinato deve essere uguale a quella che possiede quando si trova nel suo punto più basso.

 

Ricordate che l'energia meccanica è data semplicemente dalla somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale:

 

 E = K + U

 

In questo caso, essendo il cilindro soggetto alla sola forza peso che lo fa rotolare giù, l'energia potenziale è data dall'energia potenziale gravitazionale:

 

 U = mgh

 

Oltre che dalla massa, l'energia potenziale gravitazionale dipende dall'altezza alla quale il corpo si trova rispetto alla quota zero del sistema di riferimento, fissato in modo arbitrario. Naturalmente nel nostro caso conviene fissare la quota zero in corrispondenza della base del piano inclinato.

 

Il fatto che l'energia meccanica si conservi implica che deve essere verificata la seguente equazione:

 

K_i+U_i=K_f+U_f

 

dove con i pedici i ed f indichiamo rispettivamente le grandezze iniziali e finali. Sostituiamo le rispettive espressioni per ciascun termine che compare nella formula:

 

 \frac{1}{2}I_{cm} \omega^{2}_{i} + \frac{1}{2}mv^{2}_{i} + mgh_{i} = \frac{1}{2}I_{cm} \omega^{2}_{f} + \frac{1}{2}mv^{2}_{f} + mgh_{f}

 

Questa è la formula generale della conservazione dell'energia per i corpi in puro rotolamento, da declinare negli specifici che si affrontano.

 

Tornando al nostro cilindro che scende lungo il piano inclinato, se questo parte da fermo, la sua energia cinetica iniziale è nulla e possiamo eliminarla dall'equazione, cancellando sia il termine che contiene la velocità angolare (perché inizialmente il cilindro non ruota) sia il termine che contiene la velocità traslazionale (perché inizialmente non trasla). In più, se fissiamo come livello zero il fondo del piano inclinato e cominciamo a misurare l'altezza a partire da qui, quando il cilindro sarà arrivato in fondo, avrà un'energia potenziale nulla.

 

 mgh = \frac{1}{2}I_{cm} \omega^{2}_{f} + \frac{1}{2}mv^{2}_{f}

 

Per semplicità abbiamo omesso il pedice i nell'altezza iniziale. Ricordiamoci che vogliamo arrivare alla velocità finale: non dimentichiamoci che la stessa velocità angolare \omega dipende dalla velocità v. Infatti dalle leggi della cinematica rotazionale sappiamo che

 

 \omega = \frac{v}{r}

 

Sostuiamo \omega con la fomula appena scritta:

 

 mgh = \frac{1}{2}I_{cm} \left(\frac{v_{f}}{r} \right)^{2}+ \frac{1}{2}mv^{2}_{f}

 

Rimaneggiamo un po' l'equazione

 

 mgh = \frac{1}{2} mv^{2}_{f} \left( 1 + \frac{I_{cm}}{mr^{2}} \right)

 

con semplici conti algebrici si arriva alla formula per la velocità finale:

 

 v_{f} = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{I_{cm}}{mr^{2}}}}

 

 

Osservazioni sul bilancio energetico

 

Come si evince facilmente dalla precedente formula ad un momento di inerzia maggiore corrisponde una velocità minore, e viceversa.

 

Se provate a fare l'esperimento del piano inclinato con una sfera piena e con un anello di pari massa e di pari raggio, scoprirete che la sfera arriverà al fondo per prima. Questo perché il momento di inerzia della sfera è \frac{2}{5}mr^2 mentre quello dell'anello vale \frac{1}{2}mr^2 ed è quindi maggiore. In parole povere l'anello per rotolare consuma una quantità maggiore dell'energia potenziale inizialmente disponibile, e di conseguenza dispone di una minore quantità di energia per il moto traslatorio, a discapito della velocità.

 

Da notare infine che, se il momento d'inerzia è nullo (il corpo non ruota affatto), otteniamo:

 

 v_{f} = \sqrt{2gh}

 

che è la formula che conoscevamo già per i moto traslatori in una situazione analoga (punto materiale che parte da fermo e scende lungo un piano inclinato privo d'attrito o in caduta libera).

 

Come sempre in fisica, la formula più generale deve sempre contenere quella particolare. ;)

 

 


 

Nella prossima lezione introdurremo una grandezza fondamentale nello studio della Dinamica: il momento angolare. Come al solito, in caso di necessità, vi invitiamo a consultare gli esercizi svolti per fare un po' di allenamento: non dovete fare altro che usare la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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