Moto rototraslatorio di puro rotolamento

Un piccolo riepilogo: nel primo blocco di lezioni dedicate alla Dinamica abbiamo introdotto le grandezze e le leggi relative ai moti di traslazione dei punti materiali. Poi abbiamo esteso la trattazione ai corpi rigidi, e siamo passati ad occuparci della Dinamica rotazionale considerando i moti di rotazione.

 

Ora facciamo un passo in avanti verso i modelli fisici più aderenti alla realtà e parliamo del moto rototraslatorio, vale a dire il moto risultante dalla combinazione di un moto di traslazione e di un moto di rotazione. 

 

Caratteristiche cinematiche di un moto rototraslatorio

 

Consideriamo la ruota di un'auto che gira mentre l'auto si muove; il moto della ruota è un esempio di moto rototraslatorio, infatti si tratta della combinazione di due moti distinti: un moto rotatorio attorno all'asse di rotazione perpendicolare alla ruota e passante per il suo centro e un moto traslatorio che sposta la ruota in avanti.

 

In riferimento al moto rotatorio supponiamo di avere a che fare con un moto circolare uniforme. quando una ruota gira senza accelerare attorno al proprio asse, ogni punto della ruota ha la stessa velocità angolare. Se guardiamo i punti che si trovano sul bordo, questi avranno lo stesso valore di velocità tangenziale con direzione punto per punto perpendicolare alla circonferenza della ruota.

 

Ora aggiungiamo al moto di rotazione anche la traslazione, perché la ruota gira ma contemporaneamente si sposta. In un moto rototraslatorio i vettori velocità di ciascun punto del bordo non sono più tangenti alla circonferenza, perché la loro direzione è data dalla somma vettoriale della velocità tangenziale del moto di sola rotazione e della velocità del moto di sola traslazione.

 

In un moto rototraslatorio le velocità dei punti del bordo della ruota avranno quindi una direzione ed un verso come quelli indicati in figura

 

 

Moto rototraslatorio

 

 

Il centro della ruota ha una velocità esattamente identica in modulo, direzione e verso a quella di traslazione. Il punto più alto ha invece una velocità doppia mentre quello più in basso a contatto con la superficie è fermo.

 

Energia cinetica in un moto rototraslatorio di puro rotolamento

 

Come possiamo notare la descrizione del moto di ogni singolo punto sul bordo della ruota si complica rispetto ad un moto puramente rotatorio, ma a noi fortunatamente interessa studiare i moti rototraslatori da un punto di vista energetico. In altre parole vogliamo sapere come calcolare l'energia di un corpo rigido che rotola.

 

Per semplificare lo studio dei moti rototraslatori, perlomeno all'inizio, facciamo un paio di premesse:

 

1) consideriamo solamente corpi dalla sezione circolare ed omogenei, per cui il centro di massa coincide con il centro geometrico;

 

2) consideriamo solamente corpi che rotolano senza strisciare (dunque il moto delle ruote di un'auto che slittano alla partenza non rientra nel nostro modello).

 

Se si tiene conto di quest'ultima ipotesi, si parla di moto di puro rotolamento.

 

Sotto queste condizioni, l'energia cinetica di un corpo in moto rototraslatorio di puro rotolamento è data da:

 

 K = \frac{1}{2}I_{cm} \omega^{2} + \frac{1}{2}mv^{2}

 

Abbiamo quindi la somma di due termini: il primo è l'energia cinetica rotazionale dovuta al moto di rotazione attorno ad un asse passante per il centro di massa e perpendicolare alla sezione circolare del corpo; il secondo è l'energia cinetica dovuta alla traslazione del corpo, la quale dipende dalla massa e dalla velocità di traslazione.

 

In sintesi dobbiamo semplicemente sommare le forme di energia cinetica viste fin qui per le rispettive tipologie di moto.

 

 

Come ricavare la formula per l'energia cinetica di un moto rototraslatorio di puro rotolamento

 

Come si arriva alla formula per l'energia cinetica in un moto di puro rotolamento? Per ricavarla fissiamoci sulla ruota che rotola in un preciso istante.

 

Nell'ipotesi per cui la ruota rotola senza strisciare nel corso del moto il punto P si sposterà, ma un altro punto della circonferenza prenderà il suo posto e così tutti i punti del bordo assumeranno questo ruolo per un solo istante di tempo. Il punto più basso, momentaneamente fermo, rappresenta quindi il punto in cui passa l'asse di rotazione perpendicolare al piano della ruota perché è l'unico punto con velocità nulla durante il moto.

 

L'energia cinetica rotazionale del corpo va dunque calcolata rispetto a quest'asse:

 

 K = \frac{1}{2}I_{P} \omega^{2}

 

Grazie al teorema di Huygens-Steiner possiamo scrivere il momento di inerzia I_P come la somma del momento d'inerzia calcolato rispetto ad un asse parallelo passante per il centro di massa e del prodotto della massa per il quadrato della distanza tra i due assi.

 

Dato che nella nostra ipotesi il corpo è omogeneo, il centro di massa si trova esattamente nel centro geometrico, per cui la distanza tra i due assi coincide con il raggio. Ciò ci permette di scrivere:

 

\\ K = \frac{1}{2} \left(I_{cm} + Mr^{2} \right) \omega^{2} =\\ \\ \\ =\frac{1}{2}I_{cm} \omega^{2} + \frac{1}{2}Mr^{2} \omega^{2}

 

Ricordandoci che il prodotto \omega r è uguale alla velocità tangenziale v, otteniamo:

 

 K = \frac{1}{2}I_{cm} \omega^{2} + \frac{1}{2}mv^{2}

 

che è proprio la formula per l'energia cinetica di un corpo in puro rotolamento che abbiamo scritto in precedenza.

 

 


 

Ora che abbiamo visto come calcolare l'energia cinetica di un corpo che si muove di puro rotolamento cercheremo di capire sotto quali condizioni l'energia si conserva. Ce ne occupiamo nella lezione successiva. ;) Se siete in cerca di esercizi svolti ricordatevi che potete trovare tutto quello che vi serve usando la barra di ricerca interna. :)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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Tags: cos'è una rototraslazione e come calcolare l'energia cinetica di un corpo che rotola senza strisciare (moto di puro rotolamento).