Energia cinetica rotazionale

Esattamente come nel caso della Dinamica traslazionale, la grandezza di cui ci occupiamo dopo aver trattato il lavoro nel moto rotatorio è l'energia cinetica rotazionale.

 

In questa lezione analizzeremo l'energia cinetica di un corpo in rotazione e arriveremo alla formula dell'energia cinetica rotazionale. Come vedremo tra un istante continuerà a sussistere una perfetta analogia tra le grandezze coinvolte nelle traslazioni e quelle relative ai moti di rotazione, tanto da permetterci di intuire sin da subito l'espressione che determineremo. :)

 

Definizione e formula dell'energia cinetica rotazionale

 

Quando un corpo rigido ruota attorno ad un asse fisso, ogni suo punto possiede una certa velocità tangenziale che dipende dal periodo e dalla sua distanza dall'asse di rotazione, in accordo con le leggi della cinematica rotazionale.

 

Ogni punto del corpo possiede dunque anche una propria energia cinetica, secondo la ben nota relazione:

 

K=\frac{1}{2}mv^{2}

 

Questo vale per un singolo punto dotato di massa, ma come facciamo a trovare l'energia cinetica totale di un corpo in rotazione? Per riuscirci procederemo come di consueto, e cioè immaginando il corpo come se fosse composto da n particelle, ognuna con un'energia pari a quella appena scritta.

 

Siccome l'energia cinetica è una grandezza scalare, possiamo sommare le singole energie di ciascuna particella per ottenere l'energia totale.

 

 K = \frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2} + \frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2} + ... + \frac{1}{2}m_{n}v_{n}^{2} = \sum_{i = 1}^{n}{\frac{1}{2}m_{i}v_{i}^{2}}

 

Ogni particella avrà una propria velocità tangenziale v, ma tutte avranno la stessa identica velocità angolare \omega. A questo proposito ricordiamoci che la velocità angolare esprime l'angolo descritto da un punto nel tempo, dunque non dipende dalla distanza dall'asse di rotazione e, poiché stiamo trattando corpi rigidi, tutti i punti del corpo ruoteranno esattamente con la stessa velocità angolare.

 

Sappiamo che la relazione che lega la velocità tangenziale a quella angolare è

 

 v = \omega r

 

per cui, se nell'espressione dell'energia cinetica del corpo in rotazione sostituiamo ad ogni singola velocità v_i il prodotto \omega r_1, otteniamo:

 

\\ K = \frac{1}{2}m_{1} \omega^{2} r_{1}^{2} + \frac{1}{2}m_{2} \omega^{2} r_{2}^{2} + ... + \frac{1}{2}m_{n} \omega^{2} r_{n}^{2} =\\ \\ \\ =\sum_{i = 1}^{n}{\frac{1}{2}m_{i} \omega^{2} r_{i}^{2}}

 

Come abbiamo osservato poco sopra la velocità angolare \omega non presenta alcun pedice perché è uguale per tutti i punti. Raccogliamo fuori dalla sommatoria le costanti:

 

 K = \frac{1}{2} \omega^{2} \sum_{i = 1}^{n}{m_{i} r_{i}^{2}}

 

Ora un piccolo sforzo di memoria: la sommatoria corrisponde proprio alla definizione di momento di inerzia per un sistema di particelle. Possiamo finalmente concludere che, per un corpo rigido in rotazione attorno ad un asse fisso, l'energia cinetica rotazionale è data da:

 

 K = \frac{1}{2} I \omega^{2}

 

Dalla formula dell'energia cinetica rotazionale deduciamo che essa è direttamente proporzionale al momento d'inerzia del corpo e direttamente proporzionale al quadrato della velocità angolare, ossia in proporzionalità quadratica con la velocità angolare.

 

Trattandosi di un'energia, la sua unità di misura è il joule (J).

Corrispondenza tra energia cinetica ed energia cinetica rotazionale

 

L'equazione dell'energia cinetica rotazionale non vi ricorda qualcosa? Quando abbiamo trattato l'energia cinetica di un punto che trasla con una certa velocità, abbiamo scritto:

 

 K = \frac{1}{2} mv^{2}

 

Confrontando le due espressioni è evidente che l'energia cinetica rotazionale è l'analogo di quella traslazionale, e che le grandezze legate al moto di traslazione vengono sostituite dalle corrispondenti grandezze tipiche dei moti rotatori. La velocità lineare v si trasforma in quella angolare \omega e la massa viene sostituita dal momento d'inerzia.

 

Teorema dell'energia cinetica rotazionale

 

Attenzione perché l'analogia non si esaurisce qui. Dopo aver definito l'energia cinetica avevamo enunciato e dimostrato il teorema dell'energia cinetica, secondo cui il lavoro compiuto da una forza comporta una variazione di energia cinetica. Tale teorema è perfettamente valido anche nel caso di un corpo in rotazione:

 

 L = \Delta K

 

dove ovviamente al posto dell'espressione dell'energia cinetica traslazionale bisogna sostituire l'energia cinetica rotazionale:

 

L=\frac{1}{2}I\omega_f^2-\frac{1}{2}I\omega_i^2

 

Con \omega_f,\ \omega_i indichiamo rispettivamente le velocità angolari finale ed iniziale. Sotto l'azione della forza che compie lavoro, il corpo modifica la propria velocità angolare, dunque è soggetto ad un'accelerazione angolare.

 

Questa equazione è valida a patto che il momento d'inerzia resti costante durante il moto ma, in effetti, se manteniamo l'asse di rotazione fisso e consideriamo un corpo rigido, tale ipotesi è sempre verificata.

 

 


 

Il quadro generale prende forma, non trovate? :) Ora è giunto il momento di considerare la combinazione dei moti di traslazione e di rotazione e non a caso nella prossima lezione parleremo del moto rototraslatorio. Nel frattempo ricordatevi che YM è pieno di esercizi svolti e commentati nel dettaglio e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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