Lavoro nel moto rotatorio

Esattamente come siamo stati in grado di definire la grandezza chiamata lavoro per i moti traslazionali, possiamo fare altrettanto per i moti rotazionali. Il protagonista di questa lezione sarà proprio il lavoro nel moto rotatorio.

 

Se un corpo viene messo in rotazione da una forza, questa compie lavoro perché produce uno spostamento. Questa volta però non si tratta di uno spostamento lineare ma piuttosto di uno spostamento angolare: sotto l'effetto della forza il corpo ruota descrivendo un certo angolo.

 

Espressione del lavoro nel moto rotatorio

 

Consideriamo un corpo rigido che ruota attorno ad un asse fisso. Sul corpo consideriamo un punto P, sul quale viene esercita la forza che mette in rotazione il corpo attorno ad un asse passante per il punto O e perpendicolare al piano cartesiano Oxy. In parole povere l'asse di rotazione è l'asse z.

 

 

Lavoro moto rotatorio

 

 

Supponiamo che sotto l'azione della forza \vec{F} il punto P si sposti di un tratto ds, cioè di un arco di circonferenza infinitesimo. Dalla definizione di angolo in radianti l'arco ds può essere scritto come il prodotto del raggio per l'angolo infinitesimo d\theta sotteso dall'arco ds.

 

ds=rd\theta

 

Dato che stiamo considerando uno spostamento angolare infinitesimo possiamo approssimare ds con un tratto lineare. Tale segmento infinitesimo sarà tangente alla circonferenza passante per P con centro in O, dunque perpendicolare al raggio OP.

 

In accordo con la definizione di lavoro come prodotto scalare della forza per lo spostamento, il lavoro nel moto rotatorio prodotto dalla forza per spostare il punto P lungo il tratto ds è dato dal prodotto del modulo della forza per il modulo dello spostamento per il coseno dell'angolo compreso tra i due vettori.

 

Dalla Trigonometria le formule degli angoli associati ci ricordano che il coseno dell'angolo compreso tra \vec{F}\mbox{ e }ds è uguale al seno dell'angolo complementare. Giungiamo così alla formula

 

dL=F\sin(\alpha) ds

 

Sostituiamo lo spostamento ds con l'espressione scritta in precedenza

 

dL=F\sin(\alpha)rd\theta

 

Se riordiniamo i termini nel modo seguente

 

dL=(rF\sin(\alpha))d\theta

 

ci accogiamo che il termine tra parentesi è uguale al modulo del momento della forza \vec{F}, in accordo con la definizione. Possiamo allora riscrivere il lavoro così:

 

dL=M_zd\theta

 

dove con la scrittura M_z abbiamo voluto sottolineare il fatto che il momento della forza è rappresentabile con un vettore diretto lungo l'asse z. Non dimentichiamoci che, da un punto di vista vettoriale, il momento di una forza è sempre un vettore perpendicolare al piano individuato dalla forza e dal braccio.

 

Ora, il lavoro totale compiuto nel moto rotatorio per uno spostamento angolare da un angolo inziale \theta_i ad uno finale \theta_f è dato dal seguente integrale:

 

L=\int_{\theta_i}^{\theta_f}M_zd\theta

 

La formula del lavoro nel moto rotatorio che abbiamo appena ricavato, e che viene espressa mediante l'integrale, è la più generica possibile perché tiene conto della variabilità del momento della forza M_z rispetto al tempo. Se però dovesse essere costante, allora potremmo portare M_z fuori dal segno di integrale e la formula del lavoro diventerebbe più semplicemente:

 

L=M_{z}(\theta_f-\theta_i)

 

dove \theta indica l'angolo descritto dal punto P in rotazione attorno all'asse z.

 

Corrispondenza tra lavoro traslazionale e lavoro rotazionale

 

La formula generale ci dovrebbe ricordare qualcosa che abbiamo già visto, infatti il lavoro nel caso dei moti traslazionali unidimensionali è dato da:

 

L=\int_{x_i}^{x_f}F(x)dx

 

Notiamo che c'è una strettissima somiglianza tra le due espressioni. La struttura è perfettamente la stessa, solo che le grandezza traslazionali sono state sostituite dalle corrispondenti rotazionali. Ecco che allora le posizioni inziale x_i e finale x_f vengono sostituite dagli angoli iniziale \theta_1 e finale \theta_f.

 

Inoltre la forza che muoveva il corpo lungo una traiettoria rettilinea è stata sostituita dal momento della forza che fa ruotare il corpo attorno ad un asse fisso.

 

Nel caso l'aveste già intuito, anticipiamo sin da ora che questa corrispondenza tra le grandezze e le leggi per i moti traslazionali e quelle rotazionali sarà una costante in tutte le lezioni riguardanti la dinamica rotazionale. ;)

 

 


 

Non perdetevi la lezione successiva: continueremo nel parallelo tra la Dinamica traslazionale e quella rotazionale e passeremo ad occuparci dell'energia cinetica rotazionale. Intanto se volete allenarvi sappiate che su YM ci sono tantissimi esercizi svolti e che potete reperire tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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