Teorema di Huygens-Steiner

Sappiamo che, dato un certo corpo rigido, il suo momento di inerzia non è una quantità determinata unicamente dalle sue caratteristiche di forma e massa, ma dipende anche dall'asse di rotazione attorno al quale esso ruota. Stesso corpo ma asse diverso, significa momento d'inerzia diverso.

 

In questa lezione introdurremo un utilissimo teorema, il teorema di Huygens-Steiner (talvolta chiamato teorema di Steiner), che ci permetterà di semplificare notevolmente il calcolo del momento d'inerzia di un corpo qualsiasi al variare dell'asse.

 

Il teorema di Huygens-Steiner

 

Come di consueto partiamo da un esempio, che in questo caso ci permetterà di intuire più agevolmente l'utilità del teorema di Huygens-Steiner.

 

Se facciamo girare un anello rispetto all'asse di simmetria passante per il centro, troviamo un momento d'inerzia dato dalla formula I=mr^2, ma se lo stesso anello viene messo in rotazione rispetto ad un asse coincidente con un suo diametro, allora otteniamo che il momento d'inerzia è dato da I=\frac{1}{2}mr^2.

 

Per ciascun asse scelto possiamo determinare il corrispondente momento di inerzia calcolando l'integrale visto nella precedente lezione, ma esiste un teorema che ci permette di calcolare il momento d'inerzia di un corpo rispetto ad un asse qualunque, secondo una regola molto utile e pratica che può renderci la vita più facile. Si tratta del teorema di Huygens-Steiner, detto anche teorema degli assi paralleli. Vediamone l'enunciato. ;)

 

 

Enunciato del teorema di Huygens-Steiner

 

Il momento d'inerzia di un corpo rispetto ad un asse di rotazione qualunque è uguale alla somma del momento d'inerzia rispetto all'asse parallelo a quello dato e passante per il centro di massa, e del prodotto della massa per la distanza tra i due assi.

 

Tradotto in una formula:

 

I=I_{cm}+Md^2

 

dove con d abbiamo indicato la distanza tra i due assi paralleli.

 

In breve, il teorema stabilisce quanto segue: se vogliamo calcolare il momento d'inerzia di un corpo rispetto ad un asse qualunque, possiamo procurarci prima il momento d'inerzia di quel corpo passante per il suo centro di massa. Attenzione però: l'asse passante per il centro di massa deve essere parallelo a quello rispetto al quale vogliamo calcolare il momento d'inerzia (è per questo che il teorema si chiama anche teorema degli assi paralleli).

 

Una volta che abbiamo determinato tale momento d'inerzia dobbiamo semplicemente sommare il prodotto tra la massa del corpo e la distanza tra i due assi al quadrato.

 

Perché usare il teorema di Huygens-Steiner

 

Perché il teorema di Huygens-Steiner ci può essere di grande utilità? Perché spesso, nella stragrande maggioranza degli esercizi e delle applicazioni, conosciamo già l'espressione del momento d'inerzia rispetto all'asse passante per il centro di massa; di conseguenza ci basterà aggiungere il termine Md^2 e avremo già finito!

 

In questo modo riusciremo ad evitarci un'integrale che spesso e volentieri non sarebbe semplice da calcolare. A proposito: se vi siete persi la tabella dei momenti di inerzia dei principali corpi rigidi, la trovate nella lezione precedente. ;)

 

Esempio sul teorema di Huygens-Steiner

 

Vediamo subito un esempio pratico di applicazione del teorema. Nella scorsa lezione abbiamo calcolato il momento d'inerzia di una sbarra che ruota attorno ad un asse perpendicolare ad essa e passante per il suo centro. Se la sbarra ha una distribuzione di massa uniforme, il suo centro geometrico coincide anche con il suo centro di massa.

 

Disponiamo così del momento d'inerzia rispetto all'asse passante per il centro di massa, che è:

 

 I_{cm} = \frac{1}{12} ML^{2}

 

dove con M indichiamo la massa della sbarra e con L la sua lunghezza.

 

Ora vogliamo calcolare il momento di inerzia della stessa sbarra rispetto ad un asse perpendicolare ad essa e passante per una sua estremità.

 

 

Esempio sul teorema di Huygens Steiner

 

 

Poiché il nuovo asse e quello passante per il centro di massa sono paralleli, possiamo applicare il teorema di Huygens-Steiner. Nel farlo teniamo presente che la distanza tra i due assi è uguale alla metà della lunghezza della sbarra, in accordo con la figura.

 

Otteniamo così:

 

I=I_{cm}+Md^2= \frac{1}{12} ML^{2} + M \left(\frac{L}{2}\right)^2=\frac{1}{3}ML^2

 

Ed abbiamo finito. Come potete constatare il teorema ci ha fornito un approccio ben più rapido e semplice rispetto al calcolo del momento d'inerzia con l'integrale.

 

In conclusione, aiutandovi con la tabella della lezione precedente e con il teorema di Huygens-Steiner potrete calcolare i momenti d'inerzia per tutti gli assi paralleli a quelli passanti per il centro di massa.

 

 


 

Nella prossima puntata proseguiremo nello studio della Dinamica rotazionale trattando il lavoro nel moto rotatorio. Se volete esercitarvi sappiate che su YM ci sono tantissimi esercizi svolti e che potete recuperare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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