Momento di inerzia

Proseguiamo nello studio della Dinamica rotazionale e nel parallelo con le leggi e le grandezze che abbiamo visto nelle prime lezioni, quelle in cui ci siamo occupati della Dinamica dei moti di traslazione. Ora è giunto il momento di parlare del momento di inerzia.

 

Questa lezione si divide in due blocchi: nel primo forniremo la definizione e le formule del momento di inerzia nel caso dei punti materiali, commentando il tutto nel dettaglio e mettendo in luce le analogie con la Dinamica traslazionale.

 

Nella seconda parte passeremo a trattare il momento di inerzia dei corpi rigidi con riferimento ai casi più ricorrenti, quali ad esempio un'asta, una sfera, una lastra rettangolare, un disco... Naturalmente oltre alla spiegazione generale riporteremo una tabella con le formule dei momenti di inerzia da usare negli esercizi.

 

Cos'è il momento di inerzia

 

Il modo migliore per introdurre la definizione di momento di inerzia consiste nel riprendere le prime nozioni di Dinamica delle traslazioni. Quando spingiamo un corpo dotato di massa, questo acquisirà una certa accelerazione; in accordo con il secondo principio della Dinamica, tale accelerazione è inversamente proporzionale alla massa, poiché la forza è data dal prodotto della massa per l'accelerazione.

 

La massa è quella grandezza che in fisica rappresenta l'inerzia, ovvero la capacità che i corpi hanno di opporsi ad una variazione del loro stato di quiete o di moto. La massa insomma è ciò che rende difficile accelerare i corpi e maggiore è la massa, minore sarà l'accelerazione che saremo in grado di imprimergli a parità di forza.

 

Quanto appena scritto vale per i moti di traslazione. Esiste però l'equivalente della massa nei fenomeni rotatori: questa grandezza si chiama momento di inerzia e non si tratta più dunque della semplice massa, anche se questa continuerà ad avere un ruolo importante.

 

Il primo passo nella spiegazione prevede di definire il momento di inerzia di un punto materiale in rotazione. Consideriamo una particella di massa m che ruota sul piano cartesiano Oxy attorno all'origine ad una distanza r. L'asse di rotazione è l'asse z perpendicolare al piano Oxy.

 

Si definisce il momento d'inerzia I nel modo seguente:

 

I=mr^2

 

Come si vede dalla formula del momento di inerzia, si tratta di una grandezza scalare che ha come unità di misura kg·m2. Questa unità non prende un nome particolare.

 

Proprietà del momento di inerzia

 

Come vedete, il momento d'inerzia è definito come il prodotto della massa per la distanza al quadrato del punto dall'asse di rotazione. Esso rappresenta la capacità del punto di opporsi al moto rotazionale: più è grande il momento di inerzia, più è difficile far ruotare il punto attorno all'asse scelto.

 

1) Per aumentare il momento di inerzia di un punto materiale possiamo aumentare la massa oppure la distanza dall'asse o, eventualmente, fare entrambe le cose. Se raddoppiamo la massa il momento d'inerzia raddoppia, ma se raddoppiamo la distanza il momento d'inerzia quadruplica; in termini matematici tra il momento di inerzia e la distanza c'è infatti un rapporto di proporzionalità quadratica, mentre tra il momento di inerzia e la massa c'è una relazione di proporzionalità diretta.

 

2) Essendo dipendente dalla distanza dall'asse di rotazione, il momento di inerzia non è una proprietà intrinseca di un corpo (come la massa ad esempio). Ricordatevi che per proprietà intrinseca si intende una caratteristica propria di un corpo che non dipende dal sistema di riferimento in cui il corpo si trova o dal suo stato di moto. Un corpo con una certa massa può essere traslato o fatto ruotare, ma la sua massa rimane invariata; il momento di inerzia invece può cambiare a seconda dell'asse di rotazione scelto attorno al quale in corpo ruota.

 

È quindi fondamentale capire rispetto a quale asse si deve calcolare il momento di inerzia quando si affrontano gli esercizi.

 

Momento di inerzia di un sistema di particelle

 

Se abbiamo un sistema di particelle che ruotano tutte attorno al medesimo asse e mantengono le loro posizioni reciproche costanti, il momento di inerzia totale del sistema è semplicemente dato dalla somma dei singoli momenti.

 

I=m_1r_1^2+m_2r_2^2+...+m_nr_n^2=\sum_{i = 1}^{n}m_ir_i^2

 

 

Momento d'inerzia per corpi rigidi

 

Dopo aver visto qual è l'espressione del momento d'inerzia di un punto materiale che ruota attorno ad un asse, qui vogliamo invece trovare la formula del momento di inerzia di un corpo esteso, nell'ipotesi che sia rigido.

 

Bisogna subito dire che, a differenza del caso delle particelle, per i corpi rigidi non esiste un'unica formula per il momento d'inerzia. Ne esistono molte, tutte con la stessa struttura e ovviamente con le stesse unità di misura, ma con delle differenze che dipendono dalla forma del corpo dalla posizione dell'asse di rotazione attorno al quale esso ruota. Ma procediamo con ordine...

 

Ormai sappiamo bene che, ogni volta che dobbiamo trattare un corpo esteso disponendo delle equazioni dell moto di una particella, dobbiamo sempre immaginare di suddividere il corpo in un grande numero di parti, ciascuna sufficientemente piccola da poter essere trattata come una particella soggetta alle leggi che già conosciamo. Ed è che così che si procede anche per il momento di inerzia. Prendiamo allora un corpo rigido e suddividiamolo in n parti, ognuna contenete una porzione \Delta m della massa complessiva del corpo.

 

Una volta stabilita la posizione dell'asse di rotazione, l'elemento n-esimo di massa \Delta m_n avrà un momento di inerzia dato da:

 

I_n=\Delta m_nr_n^2

 

secondo la formula proposta inizialmente. Ora, il momento d'inerzia totale del corpo è dato dalla somma di tutti i momenti d'inerzia dovuti ai singoli elementi di massa \Delta m

 

I=\sum \Delta m_nr_n^2

 

Il calcolo esatto si ottiene facendo tendere a zero il valore della massa \Delta m, operando dunque un limite. Così facendo, la suddivisione del corpo passa da n elementi ad infiniti elementi, ciascuno contente una frazione infinitesima del corpo. Con l'operazione di limite, passiamo dal discreto al continuo e la sommatoria si trasforma in un integrale:

 

I=\int_V r^2dm

 

Tale integrale va calcolato sull'intero volume del corpo. Come vedete la struttura dell'espressione del momento di inerzia è rimasta invariata, perché si tratta comunque del prodotto di una massa per la distanza al quadrato dall'asse di rotazione, come nel caso di un punto materiale.

 

Anticipiamo però sin da subito che l'integrale ci darà dei coefficienti numerici diversi a seconda dei casi.

 

Esempio: momento di inerzia di una sbarretta rispetto al centro

 

Vediamo un esempio. Abbiamo una sbarretta metallica omogenea di massa M, densità \rho, lunghezza L e sezione rettangolare di area A. Vogliamo trovare il suo momento di inerzia per un asse perpendicolare alla sbarra passante per il suo centro.

 

 

Momento di inerzia di un corpo rigido

 

 

Dividiamo la sbarretta in infiniti volumetti dV, ognuno di massa dm, e chiamiamo x la distanza tra l'asse di rotazione e la posizione del volume infinitesimo dV.

 

Dalla definizione di densità, ricaviamo:

 

 dm = \rho dV

 

Il volumetto dV è dato dalla sezione A della sbarra per la lunghezza dx: si tratta infatti di un parallelepipedo di base A e altezza dx.

 

 dV = A dx

 

Di conseguenza:

 

 dm = \rho dV = \rho A dx

 

A questo punto siamo pronti per impostare l'integrale e calcolare il momento di inerzia:

 

I=\int r^2dm=\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}x^2\rho Adx

 

Otteniamo così un integrale nella variabile x che può variare da L/2 (estremo destro della sbarra) a - L/2 (estremo sinistro)

 

\\ I=\rho A\int_{- \frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}x^2dx=\rho A\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-\frac{L}{2}}^{ \frac{L}{2}}=\rho A\frac{L^3}{12}

 

La densità della sbarra può essere riscritta come il rapporto tra la massa e il volume:

 

\rho=\frac{M}{V}=\frac{M}{AL}

 

Ecco allora come si presenta il momento di inerzia della sbarra nella sua forma finale:

 

I=\frac{1}{12}ML^2

 

Abbiamo come sempre il prodotto della massa per il quadrato di una lunghezza ma è comparso un coefficiente 1/12 carattesistico della sbarra, che ruota attorno ad un asse perpendicolare passante per il suo centro.

 

Tabella dei momenti di inerzia dei principali corpi rigidi

 

Per i corpi di altra forma che ruotano attorno ad assi collocati nelle più diverse posizioni, si hanno momenti d'inerzia diversi. Ricordatevi che lo stesso corpo, se ruota attorno ad assi diversi, ha momenti d'inerzia diversi.

 

Ve ne presentiamo alcuni nella seguente tabella, nell'ipotesi che i corpi rigidi siano omogenei.

 

 

Corpo rigido Asse di rotazione Momento di inerzia
Anello sottile di massa m e raggio r Perpendicolare al piano dell'anello e passante per il centro I=Mr^2
Anello sottile di massa M e raggio r Complanare al piano dell'anello e passante per il centro I=\frac{1}{2}Mr^2
Disco di massa M e raggio r

Perpendicolare al piano del disco e passante per il centro

I=\frac{1}{2}Mr^2

Cilindro pieno di massa M e raggio r Coincidente con l'asse di simmetria del cilindro

I=\frac{1}{2}Mr^2

Cilindro cavo di massa M e raggio r

Coincidente con l'asse di simmetria del cilindro

I=Mr^2

Cilindro cavo di massa M distribuita tra R1 ed R2

Coincidente con l'asse di simmetria del cilindro

I=\frac{1}{2}M(R_1^2+R_2^2)

Sfera di massa M e raggio r Qualsiasi asse passante per il centro I=\frac{2}{5}Mr^2
Guscio sferico Qualsiasi asse passante per il centro

I=\frac{2}{3}Mr^2

Lastra rettangolare con lati a, b Perpendicolare al piano e passante per il centro

I=\frac{1}{12}M(a^2+b^2)

Sbarra rettangolare di massa M e lunghezza L Perpendicolare alla lunghezza e passante per il centro

I=\frac{1}{12}ML^2

Sbarra rettangolare di massa M e lunghezza L

Perpendicolare alla lunghezza e passante per un estremo

I=\frac{1}{3}ML^2

 

 


 

Nella lezione successiva tratteremo un risultato teorico relativo al momento di inerzia, il teorema di Huygens-Steiner. Nel frattempo se volete allenarvi sappiate che su YM ci sono tantissimi esercizi svolti e che potete recuperare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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