Equilibrio statico di un corpo rigido

Sappiamo già che un punto materiale rimane in quiete se la somma delle forze agenti su di esso è nulla. Era ciò che abbiamo scoperto studiando le leggi di Newton.

 

Ma tutto quello che abbiamo visto fino ad ora si applicava al concetto ideale di punto materiale, cioè un punto privo di estensione dotato e di una certa massa. È chiaro che una situazione del genere non esiste nella realtà e che si tratta di un puro modello: come si può allora estendere il concetto di equilibrio statico ad un corpo esteso?

 

Nelle righe seguenti daremo una risposta alla precedente domanda, mostrando come estendere la condizione di equilibrio delle forze per i punti materiali al caso dei corpi rigidi e proponendo tutte le formule dell'equilibrio statico.

 

Condizioni per l'equilibrio statico di un corpo

 

Possiamo dire che un corpo esteso è in equilibrio statico (cioè è fermo rispetto ad un certo sistema di riferimento) se ogni suo punto è in quiete. Dobbiamo cioè immaginare il corpo come un insieme di tantissimi punti: se ogni punto è fermo, anche il corpo nel suo complesso lo sarà.

 

I corpi estesi però sono spesso molli o facilmente deformabili; è per questo che qui parleremo di corpi rigidi, ovvero di corpi che sotto l'azione delle forze, non modificano la propria forma.

 

Detta in altri termini, in un corpo rigido la posizione reciproca tra i diversi punti che lo compongono rimane costante. Anche in questo caso stiamo considerando un modello ideale perché in realtà ogni corpo tende sempre a deformarsi quando subisce l'effetto di una forza, ma in moltissimi casi tale deformazione è così minima da poter essere totalmente trascurata. In fin dei conti, se spingiamo la parete di un edificio, quanto mai potrà deformarsi? :)

 

 

Prima condizione per l'equilibrio statico: equilibrio delle forze

 

Abbiamo visto che per analizzare il moto di un corpo rigido possiamo valutare soltanto il moto del suo centro di massa, ovvero di quel punto in cui si immagina sia concentrata tutta la massa del corpo. Se vogliamo che il corpo non trasli, allora il suo centro di massa deve rimanere fermo e per fare sì che questo accada, è necessario che la somma di tutte le forze esterne sia nulla:

 

\sum F_{est}=0

 

 

Seconda condizione per l'equilibrio statico: equilibrio dei momenti

 

Per quanto tale questa sia una condizione necessaria e sufficiente per l'equilibrio di un punto materiale, non si può dire altrettanto per un corpo rigido per il quale dobbiamo tenere conto degli aspetti di Dinamica rotazionale. Benché il suo centro di massa rimanga fermo, è comunque possibile che il corpo possa ruotare attorno ad un proprio asse.

 

A titolo di esempio possiamo pensare ad un giocatore di basket che fa ruotare il pallone sulla punta di un dito: il centro di massa (ovvero il centro della sfera) è fermo, ma di certo il pallone non lo è. È necessaria allora un'ulteriore condizione di equilibrio che permetta al corpo di non ruotare. Ciò accade solo quando la somma di tutti i momenti delle forze esterne è pari a zero.

 

 \sum{M_{est}} = 0

 

 

Ci siamo: abbiamo individuato le due condizioni per l'equilibrio statico di un corpo rigido, le cui formule ci permetteranno di risolvere i problemi relativi all'equilibrio dei corpi

 

\begin{cases}\sum F_{est}=0\\ \\ \sum M_{est}=0\end{cases}

 

Esempio sull'equilibrio statico di un corpo rigido

 

Vediamo come applicare queste condizioni in un esempio partico. Abbiamo una tavola di legno di lunghezza l pari a 20 metri e di massa M pari a 120 kilogrammi che poggia alle sue estremità su due cavalletti. La tavola è perfettamente orizzontale e su di essa viene appoggiato un oggetto di m=75\mbox{ kg} ad una distanza d=13\mbox{ m} dall'estremità destra (punto B in figura). Quanto valgono le reazioni vincolari dei cavalletti che sorreggono la tavola?

 

 

Equilibrio statico di un corpo rigido

 

 

Per risolvere l'esercizio dobbiamo impostare due equazioni: la prima per l'equilibrio delle forze e la seconda per l'equilibrio dei momenti.

 

Per impostare la prima equazione, scegliamo positive le forze dirette verso l'alto e negative quelle verso il basso.

 

Per impostare la seconda equazione invece, dobbiamo scegliere un asse rispetto al quale calcolare i momenti. Scegliamo ad esempio l'asse verticale passante per A: è da qui che dobbiamo calcolare le distanze dei punti di applicazione delle forze in gioco.

 

Teniamo presente che la forza peso della tavola va applicata nel suo centro di massa, quindi nel suo punto centrale. Sappiamo inoltre momenti sono positivi se generano rotazioni in senso antiorario e negativi se tendono a far ruotare la tavola in senso orario.

 

Scriviamo il sistema:

 

 \begin{cases} R_{A} + R_{B} - Mg - mg = 0 \ \ \ \mbox{ rispetto al CdM}\\ \\ R_{B}l - Mg \frac{l}{2} - mg(l - d) = 0 \ \ \ \mbox{rispetto all'asse in A}\end{cases}

 

Poiché abbiamo fatto coincidere il fulcro con il punto A, la reazione vincolare \vec{R}_A non produce alcun momento avendo braccio nullo. Ricaviamo R_B dalla seconda equazione:

 

 

\\ R_B=\frac{Mg \frac{l}{2} + mg(l - d)}{l} = \\ \\ \\ =\frac{(120\mbox{ kg}) \cdot \left(9,81\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}\right) \cdot \frac{20\mbox{ m}}{2} + (75\mbox{ kg}) \cdot \left(9,81\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}\right)\cdot (20\mbox{ m}-13\mbox{ m})}{20\mbox{ m}}=846,1\mbox{ N}

 

 

Ora, dalla prima equazione possiamo trovare l'altra rezione vincolare:

 

 

\\ R_A= mg + Mg - R_B=\\ \\ \\ = (75\mbox{ kg})\cdot \left(9,81\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}\right)+(120\mbox{ kg})\cdot\left(9,81\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}\right)-846,1\mbox{ N}=1066,8\mbox{ N}

 

 


 

Come avrete certamente intuito, le precedenti considerazioni ci permetteranno di estendere lo studio dinamico dei sistemi fisici. A partire dalla lezione successiva introdurremo una nuova grandezza, il momento di inerzia. Intanto, se volete esercitarvi, sappiate che qui su YM potete consultare tantissimi esercizi svolti e spiegati nel dettaglio. Non dovete fare altro che usare la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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