Momento della forza peso

Ora che sappiamo in cosa consiste il momento di una forza vediamo come calcolarlo in un caso a noi ben noto. Come si ricava il momento della forza peso che agisce su un corpo?

 

Studiando il metodo per calcolare il momento della forza peso avremo modo di approfondire tutte le considerazioni teoriche che abbiamo trattato nella precedente lezione, e inoltre impareremo un modus operandi utilissimo perché ricorrerà in diversi esercizi e in altrettante applicazioni.

 

Come calcolare il momento della forza peso

 

Per contestualizzare le formule del momento di una forza al caso della forza peso possiamo fare riferimento ad un esempio, che ci permettera di trarre formule e considerazioni generali.

 

Immaginiamo di avere una sbarra di acciaio lunga 1 metro inchiodata al muro ad una sua estremità e lasciata libera di ruotare senza attriti. Supponiamo anche che la sbarra sia sufficientemente spessa da non deformarsi.

 

Per esperienza sappiamo bene che la sbarra, a partire da qualunque posizione diversa dalla verticale, tenderà a ruotare attorno al fulcro sotto l'effetto della forza di gravità, fino a portarsi in posizione perfettamente verticale. La forza peso esercita così un momento che fa ruotare la sbarra attorno al fulcro.

 

 

Premessa: forza peso esercitata su un corpo esteso

 

Quando trattiamo corpi estesi, dobbiamo sempre immaginare di dividerli in tante parti infinitesime, ognuna delle quali si comporta come un punto materiale soggetto alle leggi della dinamica che già conosciamo.

 

Innanzitutto vogliamo metter in luce il fatto che la somma di tutte le forze peso che si esercitano su ogni singola parte infinitesima della sbarra è uguale al prodotto della massa totale del corpo per l'accelerazione di gravità, ovvero che la legge per la forza peso rimane invariata rispetto a quella che conoscevamo nel caso di un punto materiale.

 

Chiamiamo ogni singola porzione infinitesima di massa m_i e la relativa forza di gravità F_{i,P}. La somma di tutte le singole forze peso è data da:

 

\vec{F}_P=\sum_i \vec{F}_{i,P} = \sum_i m_i \vec{g} = \vec{g} \sum_i m_i = m_{tot} \vec{g}

 

Trattandosi di una costante, abbiamo portato fuori dalla sommatoria l'accelerazione di gravità. Ecco che la somma di tutte le forze peso per ogni singola porzione della sbarra equivale alla massa totale per l'accelerazione di gravità. Questo è il risultato che conoscevamo già per un punto materiale, ma non era affatto scontato per un corpo esteso:

 

\vec{F}_P=m_{tot}\vec{g}

 

Domanda: dove viene applicata la forza peso agente su un corpo esteso? Per un punto materiale questa domanda non aveva senso, ma ora che abbiamo un corpo rigido i punti di applicazione in teoria sono infiniti. Sappiamo però che esiste un punto in cui si può immaginare sia applicata la forza peso agente su un corpo esteso: tale punto è detto baricentro e, come vedremo nel seguito, ha una certa affinità col centro di massa.

 

Formule del momento della forza peso

 

Richiamiamo brevemente la definizione di momento di una forza

 

\vec{M}=\vec{r}\times\vec{F}

 

dove \vec{r} indica il braccio della forza, \times il prodotto vettoriale ed \vec{F} la forza agente sul corpo.

 

Il momento risultante della forza peso è dato dalla somma di tanti momenti, ognuno dei quali è dato dal prodotto di una piccola porzione della massa della sbarra e del relativo braccio. Per poter calcolare il momento totale dobbiamo allora immaginare di dividere in tante parti infinitesime la sbarra e applicare a ciascuna di esse la forza peso diretta verticalmente verso il basso.

 

Ora, se vogliamo calcolare il momento della forza peso che mette in rotazione la sbarra, dobbiamo sommare tutti i momenti dovuti alle forze peso agenti su ogni singola parte della sbarra.

 

\vec{M}=\sum_i \vec{M} = \sum_i \vec{r}_i\times \vec{F}_{i,P}=\sum_i(\vec{r}_{i}\times m_{i}\vec{g})

 

Spostiamo la massa a fianco al vettore posizione

 

\vec{M}= \sum_i (m_i \vec{r}_i \times \vec{g})

 

La costante \vec{g} non dipende dall'indice di sommatoria e pertanto possiamo scrivere:

 

\vec{M}=\left(\sum_i m_i\vec{r}_i\right)\times\vec{g}

 

Ma la sommatoria che abbiamo appena scritto compare nella definizione della posizione del centro di massa:

 

\vec{r}_{cm}=\frac{\sum_i m_i \vec{r}_i}{\sum_i m_i}=\frac{\sum_i m_i \vec{r}_i}{m_{tot}}\ \ \to \ \ \sum_i m_i \vec{r}_i=m_{tot}\vec{r}_{cm}

 

Di conseguenza otteniamo:

 

\vec{M} = m_{tot} \vec{r}_{cm} \times \vec{g}

 

Considerando il prodotto tra massa ed accelerazione di gravità

 

\vec{M}=\vec{r}_{cm} \times m_{tot}\vec{g}

 

e grazie alle considerazioni viste inizialmente sulla forza peso agente su un corpo rigido

 

\vec{M} = \vec{r}_{cm} \times \vec{F}_P

 

 

Osservazioni sul momento della forza peso

 

1) Abbiamo così scoperto che il momento della forza peso rispetto ad un fulcro per un corpo esteso è esercitato dalla forza peso applicata nel suo centro di massa, che è il punto in cui possiamo immaginare sia applicata la forza peso. In particolare il momento della forza peso è dato dal prodotto vettoriale tra il braccio della forza e la forza peso esercitata nel centro di massa.

 

 

2) Va da sé che il momento della forza peso rispetto ad un fulcro collocato nel centro di massa di un corpo è nullo perché è nullo il braccio. In tal caso infatti il fulcro e il punto di applicazione della forza coincidono.

 

 

3) Notate che all'inizio di questa lezione abbiamo chiamato baricentro il punto in cui si applica la forza peso, mentre ora stiamo parlando di centro di massa. Chiariremo meglio la differenza e tra i due concetti nella prossima lezione.

 

 


 

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Alessandro Catania (Alex)

 

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