Momento di una forza (momento torcente)

Passiamo ora ad occuparci della cosiddetta dinamica rotazionale, cioè quella parte della meccanica che si occupa della rotazione dei corpi, e definiamo il momento di una forza (detto anche momento torcente).

 

Fino ad ora ci siamo sempre occupati di oggetti che traslano senza mai ruotare; a partire da questa lezione affronteremo fenomeni in cui i corpi ruotano attorno ad un punto o ad un loro asse, o ancora oggetti che rotolano.

 

In questo contesto ci sono diverse grandezze da definire e che hanno un parallelo con le grandezze che già conosciamo. Partiamo quindi dalla definizione di momento di una forza e, spiegando in cosa consiste e proponendo le formule del momento torcente.

 

Definizione e formule del momento di una forza

 

La formula del momento di una forza definisce questa nuova grandezza come prodotto vettoriale tra un vettore posizione ed una forza

 

 \vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}

 

Con \vec{M} indichiamo il momento della forza, con \vec{r} il braccio e con \vec{F} la forza. Essendo definito mediante il prodotto vettoriale, il momento di una forza è una grandezza vettoriale.

 

Momento di una forza

 

L'unità di misura del momento torcente è il N\cdot m (newton per metro), misura che nel contesto dell'energia equivale al joule. Siccome però si sta parlando di grandezze completamente diverse dal punto di vista concettuale, non si attribuisce il nome joule alle unità di misura del momento di una forza con lo scopo di differenziarlo dall'energia.

 

Prima di conoscere nel dettaglio i personaggi della precedente equazione, dobbiamo subito notare che \vec{M} è una grandezza vettoriale ed è definito mediante un prodotto vettoriale. Se siamo interessati al suo modulo del momento di una forza, possiamo calcolarlo in questo modo:

 

M=rF\sin(\theta)

 

dove \theta è l'angolo compreso tra i vettori \vec{r},\ \vec{F}.

 

Le formule inverse del momento torcente sono le seguenti (per l'angolo è richiesto l'uso dell'arcoseno):

 

\\ r = \frac{M}{F \sin(\theta)}\\ \\ \\ F=\frac{M}{r\sin(\theta)}\\ \\ \\ \theta=\arcsin\left(\frac{M}{rF}\right)

 

Direzione e verso del momento di una forza

 

Per chi non sapesse com'è definito il prodotto vettoriale, basti sapere che la direzione del momento di una forza \vec{M} è quella perpendicolare al piano individuato dai vettori \vex{r},\ \vec{F}.

 

Per il verso del momento torcente bisogna invece usare la regola della mano destra, che prevede di posizionare il pollice nel verso del primo vettore (\vec{r}) e l'indice nel verso del secondo (\vec{F} ). Sarà il dito medio a dirci qual è il verso del vettore \vec{M}. Attenzione: si chiama regola della mano destra perché bisogna usare la mano destra! :P

 

Attenzione anche al fatto che il prodotto vettoriale non è commutativo, dunque non si può invertire l'ordine dei vettori \vec{r},\ \vec{F} altrimenti otterremo un vettore con verso opposto. Siamo quindi obbligati a ricordarci la formula del momento di una forza tassativamente nell'ordine in cui è scritta.

 

Essendo un vettore, il momento può essere positivo o negativo a seconda del suo verso: normalmente se i corpi ruotano in senso antiorario, il momento viene scelto positivo.

 

Ok, ma cos'è il momento di una forza?

 

Ora cerchiamo di capire meglio di cosa stiamo parlando e di comprendere cos'è e a cosa serve il momento di una forza. Immaginiamo di dover aprire una porta spingendola. La porta è incernierata su un lato e può ruotare sui cardini attorno ad un asse verticale e perpendicolare al pavimento.

 

Spingiamo la porta con una certa forza \vec{F} diretta perpendicolarmente alla porta e applicata sulla maniglia. La distanza tra i cardini della porta, cioè il punto di rotazione (detto fulcro), e il punto di applicazione della forza si chiama braccio della forza e si indica con \vec{r} (talvolta con \vec{b}). Il braccio non è una caratteristica intrinseca del corpo che ruota ma cambia a seconda del punto in cui viene esercitata la forza.

 

Il braccio è però definito come vettore: il suo verso va dal fulcro al punto di applicazione della forza e la direzione è data dalla linea congiungente questi due punti.

 

Il momento, come vedremo meglio nelle prossime lezioni, è una grandezza legata all'accelerazione angolare dei corpi in rotazione. Si tratta dell'equivalente rotazionale della forza: ad ogni forza è associata un'accelerazione lineare e ad ogni momento della forza è associata un'accelerazione angolare.

 

\\ \mbox{accelerazione (lineare)}\ \vec{a}\ \leftrightarrow\ \vec{F}\ \mbox{forza}\\ \\ \mbox{accelerazione angolare}\ \vec{\alpha}\ \leftrightarrow\ \vec{M}\ \mbox{momento della forza}

 

Per aumentare il valore del momento torcente, abbiamo due possibilità:

 

- possiamo aumentare la forza;

- possiamo aumentare il braccio.

 

È esperienza comune che, a parità di forza, è molto più vantaggioso spingere la porta sulla maniglia piuttosto che in prossimità dei cardini: nel primo caso il braccio è maggiore e otterremo così un momento della forza maggiore. È per questo che la maniglia si trova nel punto più lontano dai cardini. Nel caso limite in cui si spingesse direttamente sui cardini, allora il braccio sarebbe nullo, così come il momento, e non si produrrebbe alcuna rotazione.

 

- Anche l'angolo \theta compreso tra il braccio e la forza gioca un ruolo importante. Il momento di una forza è massimo se l'angolo è uguale a 90° oppure a 270° cioè se i vettori braccio e forza sono perpendicolari. All'opposto, se tiriamo la porta in direzione parallela al braccio, stiamo cercando di scardinarla e non di farla ruotare; in questa situazione l'angolo è uguale a 0° oppure a 180°, cioè i vettori \vec{r},\ \vec{F} sono perpendicolari, ed il momento torcente è nullo.

 

Calcolo vettoriale del momento di una forza

 

Visto che si tratta di un prodotto vettoriale, se conosciamo le tre componenti spaziali del braccio e della forza, è possibile calcolare il vettore momento torcente vettore come determinante della seguente matrice:

 

 \vec{M}=det\left[\begin{matrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ r_{x} & r_{y} & r_{z}\\ F_{x} & F_{y} & F_{z}\end{matrix}\right]

 

Nella prima riga abbiamo scritto i tre versori degli assi cartesiani, nella seconda riga le 3 componenti del braccio e nella terza le componenti della forza. Calcolando il determinante si ottiene:

 

 \vec{M} = \left( r_{y}F_{z} - r_{z}F_{y} \right) \hat{i} + \left( r_{z}F_{x} - r_{x}F_{z} \right) \hat{j} + \left( r_{x}F_{y} - r_{y}F_{x} \right) \hat{k}

 

In questo modo possiamo calcolare le tre componenti del momento angolare. Nella matrice precedente si possono inserire direttamente i valori numerici dati dal problema e procedere col calcolo del determinante, senza dover imparare la formula appena scritta. ;)

 

 


 

Per ora ci fermiamo qui, nella lezione successiva vedremo un esempio esplicito di calcolo per il momento di una forza a noi ben nota, e più avanti introdurremo un'ulteriore grandezza caratteristica della Dinamica rotazionale: il momento di inerzia.

 

Come di consueto se siete in cerca di esercizi svolti vi invitiamo ad usare la barra di ricerca interna, ricordando che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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