Centro di massa di un corpo rigido

Quando abbiamo introdotto il concetto di centro di massa abbiamo fatto riferimento ad un sistema di punti materiali, o particelle, dotate di massa. Dopo aver visto che cosa si intende con corpo rigido nella lezione sulla densità è lecito domandarsi se sia possibile estendere la definizione di centro di massa ad un corpo rigido.

 

Ciò è certamente possibile e come vedremo nelle seguenti righe l'estensione richiederà di passare dal discreto al continuo; chiunque sia avvezzo allo studio di Analisi 2 avrà già intuito che dovremo passare dalle sommatorie agli integrali tripli, per cui questa lezione è dedicata solamente agli studenti universitari che hanno dimestichezza con gli integrali di volume. Tutti gli altri possono passare oltre. ;)

 

Il centro di massa nei corpi rigidi

 

Se abbiamo un corpo rigido esteso, cioè non deformabile e non approssimabile ad un punto materiale, come possiamo individuarne il centro di massa?

 

Dobbiamo immaginare il corpo come se fosse costituito da un numero infinito di particelle, ognuna dotata di una frazione infinitesima della massa totale del corpo. Con questa premessa si può calcolare la posizione del centro di massa di un corpo rigido in modo analogo a quanto visto per un sistema discreto di N particelle, con la differenza che, avendo ora un numero infinito di particelle, l'operatore di sommatoria va sostituito con un integrale.

 

Formule per le coordinate del centro di massa di un corpo rigido

 

\\ x_{cm} = \frac{\int_V{x\rho dv}}{\int_{V}\rho dv}\\ \\ \\ y_{cm} = \frac{\int_V{y\rho dv}}{\int_{V}\rho dv}\\ \\ \\ z_{cm} = \frac{\int_V{z\rho dv}}{\int_V \rho dv}

 

Le coordinate (x,y,z) individuano la posizione della particella di massa infinitesima dm=\rho dv, mentre dv indica l'elemento di volume infinitesimo e \rho la densità del corpo, che può essere costante o una funzione \rho:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}.

 

In particolare possiamo esprimere le precedenti formule in una forma più semplice, osservando che i denominatori equivalgono alla massa totale del corpo M

 

\\ x_{cm} = \frac{1}{M} \int_V{x\rho dv}\\ \\ \\ y_{cm} = \frac{1}{M} \int_V{y\rho dv}\\ \\ \\ z_{cm} = \frac{1}{M} \int_V{z\rho dv}

 

Un modo equivalente per esprimere le precedenti formule è il seguente:

 

\vec{r}_{cm} = \frac{1}{M} \int_V{\vec{r}\rho dv}

 

dove \vec{r} denota il vettore delle coordinate che individua la posizione dell'elemento di volume infinitesimo.

 

Nel caso di un corpo rigido con massa distribuita linearmente

 

\vec{r}_{cm} = \frac{1}{M} \int_L{\vec{r}\rho_L dl}

 

dove \rho_L indica la densità lineare e dl il tratto lineare infinitesimo.

 

Per un corpo rigido con massa distribuita superficialmente

 

\vec{r}_{cm} = \frac{1}{M} \int_S{\vec{r}\rho_S ds}

 

dove \rho_S denota la densità superficiale e ds l'elemento di superficie infinitesimo.

 

Non fatevi ingannare dalle formule per il centro di massa dei corpi rigidi lineari e superficiali. Se ci avete fatto caso, abbiamo espresso entrambe le formule in riferimento al vettore posizione \vec{r} perché i corpi, pur essendo lineari o superficiali, potrebbero essere collocati in un sistema di riferimento in due o tre dimensioni.

 

Tra pochissimo considereremo un esempio grazie a cui questa osservazione risulterà più chiara. ;)

 

Centro di massa di corpi simmetrici ed omogenei

 

La teoria non è complicata ma la pratica invece potrebbe esserlo, e molto anche! Sapete bene che gli integrali non sono sempre semplici da calcolare, ed in questo caso la difficoltà tipica delle applicazioni sta nella corretta impostazione dei calcoli.

 

Nel caso più semplice di un oggetto perfettamente simmetrico e omogeneo, cioè con una distribuzione di massa uniforme e densità costante in ogni punto, il centro di massa del corpo rigido coincide con il centro geometrico dell'oggetto.

 

Se ad esempio consideriamo una palla di cannone piena, abbiamo in mano una sfera omogenea. Il suo centro di massa coincide allora con il centro dela sfera.

 

Ciò è vero anche per un pallone da calcio, che di fatto è un guscio sferico perché la sua massa è disposta solo sulla superficie con un certo spessore mentre l'interno è cavo. La massa risulta però distribuita in modo uniforme in tutte le direzioni, per cui il centro di massa si trova nel centro della sfera anche se qui non c’è massa. Ciò significa che nella trattazione del moto di un pallone possiamo immaginare le forze applicate tutte nel suo centro geometrico, vale a dire nel suo centro di massa.

 

Esempio di calcolo del centro di massa di un corpo rigido

 

Vediamo ora un esempio decisamente più complesso che ci obbliga a fare uso della formula con l'integrale. Vogliamo calcolare le coordinate del centro di massa di un filo senza spessore (lineare) semicircolare di massa m e raggio R.

 

 

Centro di massa di un corpo rigido

 

 

Impostiamo l'integrale nella sua versione lineare, dove sostituiamo il volume dv con il tratto lineare infinitesimo dl e intendiamo la densità come densità lineare e non volumica.

 

La massa è data dal prodotto della densità lineare per la lunghezza della semicirconferenza:

 

 M = \rho l = \rho \pi R

 

Il vettore posizione è dato da:

 

\vec{r}=R\cos(\theta)\hat{i}+R\sin(\theta)\hat{j}

 

e il tratto infinitesimo dl, dalla definizione di radiante, è uguale a:

 

 dl = R d\theta

 

L'angolo \theta può variare da 0 (in A) a π (in B). Sostiutiamo tutto nella formula ed eseguiamo i conti:

 

\\ \vec{r}_{cm} = \frac{1}{M} \int{\vec{r} \rho dl} = \\ \\ \\ = \frac{1}{\rho \pi R} \int_{0}^{\pi}{R(\cos(\theta)\hat{i}+\sin(\theta)\hat{j}) \rho R d\theta} =\\ \\ \\ = \frac{\rho R^2}{\rho \pi R} \int_{0}^{\pi}{(\cos(\theta)\hat{i}+\sin(\theta)\hat{j}) d\theta} =\\ \\ \\ = \frac{R}{\rho \pi} \left[ \sin (\theta)\hat{i} - \cos(\theta) \hat{j} \right]_{0}^{\pi} = \\ \\ \\ =\frac{2R}{\pi} \: \hat{j} = 0,64 R \: \hat{j}

 

Il centro di massa si trova sull'asse y ad una distanza dall’origine pari a 0,64 volte il raggio, in un punto dove non c'è massa. L'esempio mette così in luce un importante proprietà del centro di massa, che può anche non appartenere al corpo.

 

Siamo quindi riusciti a trovare la posizione del centro di massa del semi-anello grazie alla sua particolare simmetria. Per impostare un'integrale infatti, è necessaria una qualche regola che possiamo trovare solo in casi particolarmente fortunati, ovvero casi di corpi dotati di qualche tipo di simmetria, come quello appena visto.

 

 


 

Non perdetevi le lezioni successive, e se volete consultare degli esercizi svolti ricordatevi che la barra di ricerca interna è la vostra più grande alleata. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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