Densità

Questa lunga lezione dedicata al concetto di corpo rigido e alla densità è divisa in tre parti.

 

La prima parte è un lungo preambolo in cui spieghiamo le necessità di estendere lo studio della Fisica dai punti materiali ai corpi rigidi. Finora infatti ci siamo limitati a considerare solamente sistemi di particelle e di punti materiali, ma come dovremmo comportarci per studiare il moto di un corpo rigido?

 

Nella seconda invece introdurremo la nozione di densità di un corpo, dandone la definizione e ricavando la formula della densità da usare nei calcoli. Oltre alla densità volumica tratteremo per completezza anche la densità superficiale e la densità lineare. Se vi interessano solamente le formule potete riprendere la lettura direttamente da lì. ;)

 

Infine, nella terza e ultima parte proporremo una tabella con i valori di densità dei materiali più comuni e più ricorrenti nelle applicazioni.

 

Nota bene: per chi fosse interessato, ci sono anche una lezione sul peso specifico dedicata agli studenti delle scuole medie e superiori ed una spiegazione sulla differenza tra densità e peso specifico.

 

Corpi rigidi e densità

 

Prima di fornire una definizione di densità di un corpo è importante fare una piccola premessa. Tutte le leggi della cinematica e della dinamica viste fin qui si applicano ai punti materiali, ovvero a punti con un certo valore di massa ma privi di un'estensione volumica. Si tratta ovviamente di un'idealizzazione che ci ha permesso di studiare leggi importanti della fisica, ignorando eventuali effetti di disturbo dovuti all'estensione degli oggetti.

 

Abbiamo anche visto che, nel caso più complesso di un sistema di particelle, è possibile descrivere il moto del sistema riferendoci ad un solo punto: il centro di massa, frutto di una media ponderata delle masse che compongono il sistema, ognuna con le proprie coordinate individuate dall'origine del sistema di riferimento. Questo ci permette di semplificare la trattazione anche se non ci dice nulla sul singolo moto di ciascuna delle particelle del sistema.

 

Il mondo reale però non è fatto di sole particelle; in realtà lo è :P ma il problema è che ogni oggetto che ci circonda è costituito da un numero impressionante di particelle (atomi e molecole) che messe assieme creano oggetti con una propria estensione nello spazio.

 

Come possiamo passare allora da una trattazione più astratta, parlando di punti materiali e particelle, ad una più aderente alla realtà? Molto spesso nei nostri esempi, pur riferendoci a leggi applicabili a punti materiali, abbiamo parlato di auto, casse, palline da tennis e in questo c'è un'approssimazione irrinunciabile nello studio dei sistemi fisici.

 

Comiciamo qui la trattazione della dinamica del corpo rigido e dunque abbiamo bisogno di definire il concetto di corpo rigido. Si tratta sostanzialmente di corpi estesi (dunque con un loro volume) che non possono deformarsi: una sbarra di acciaio, una spessa tavola di legno e un blocco di cemento sono tutti esempi di corpi rigidi. Non sono invece corpi rigidi un materasso o una scatola vuota di cartone.

 

Possiamo quindi dare la seguente definizione di corpo rigido: un insieme di punti, ognuno dei quali mantiene sempre la stessa distanza da tutti gli altri, anche se esso è in movimento o se su di esso vengono esercitate forze esterne.

 

A ben vedere anche in questo caso stiamo effettuando un'approssimazione, perché anche i corpi più rigidi e solidi in realtà possono sempre essere deformati. Ma in Fisica la domanda che bisogna sempre farsi è: di quanto?

 

Se ci siediamo su un muretto di cemento, questo tenderà sicuramente a comprimersi leggermente verso il basso, ma di quanto? Probabilmente di una lunghezza che non è nemmeno possibile misurare e sicuramente niente di cui ci possiamo accorgere a occhio. Rispetto alla forza peso di un uomo, il muretto di cemento può essere considerato senza nessun problema come un corpo rigido.

 

In un corpo rigido che trasla in una certa direzione, ogni singolo punto che lo compone trasla con la stessa velocità e nella stessa direzione di tutti gli altri. Diciamo quindi che un corpo rigido esteso si comporta come un punto materiale se tutte le sue parti si muovono allo stesso modo. Ciò ci permetterà di definire un centro di massa anche per i corpi estesi.

 
 

Definizione di densità

 

Dopo aver visto cos'è un corpo rigido subentra la necessità di definire una nuova grandezza, la densità, generalmente indicata con il simbolo ρ. Essa per definizione esprime la quantità di massa presente in un'unità di volume.

 

Ora dobbiamo distinguere due casi: quello dei corpi rigidi con massa distribuita uniformemente nel volume, detti anche corpi rigidi omogenei, e quelli con una distribuzione di massa non uniforme nel volume.

 

Densità di un corpo rigido omogeneo

 

Nel caso dei corpi rigidi omogenei la densità è costante e dalla definizione segue facilmente la formula della densità

 

\rho=\frac{M}{V}

 

dove M è la massa del corpo rigido e V il volume. Come si evince facilmente dalla precedente formula, l'unità di misura della densità è il chilogrammo al metro cubo

 

\frac{\mbox{kg}}{\mbox{m}^3}

 

Il kg/m3 è la misura di riferimento nel Sistema Internazionale, cionondimeno può capitare di leggere tabelle e libri che riportano i valori di densità in grammi al centimetro cubo (g/cm3) oppure in chilogrammi al decimetro cubo (kg/dm3)

 

\\ 1\ \frac{\mbox{g}}{\mbox{cm}^3}=1000 \ \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m}^3}\\ \\ 1\ \frac{\mbox{kg}}{\mbox{dm}^3}=1000 \ \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m}^3}

 

In caso di necessità ci si può comunque ricondurre all'una o all'altra unità di misura con il solito metodo per svolgere le equivalenze.

 

Riguardo alle formule inverse della densità, conoscendo la densità e il volume potremo calcolare la massa del corpo

 

M = \rho V

 

e conoscendo la densità e la massa, potremo ricavare il volume del corpo

 

 V = \frac{M}{\rho}

 

Le formule appena scritte riguardano il caso di un corpo omogeneo e sono le uniche che vengono utilizzate negli esercizi alla scuola media e alle scuole superiori, proprio perché si considerano problemi in cui per semplicità si suppone di lavorare con corpi rigidi omogenei.

 

 

Altri tipi di densità

 

Quando si parla di densità di un corpo ci si riferisce alla distribuzione di una massa in un volume, tant'è che essa viene anche chiamata densità volumica. Determinati modelli fisici richiedono talvolta di dover lavorare teoricamente con corpi rigidi che presentano un'estensione limitata ad una superficie (due dimensioni) o ad una linea (una dimensione).

 

In questi casi si possono definire due ulteriori grandezze sulla falsariga del caso della densità volumica:

 

- la densità superficiale, definita come massa nell'unità di superficie

 

\rho_s=\frac{M}{S}

 

e che si misura in chilogrammi al metro quadro

 

\frac{\mbox{kg}}{\mbox{m}^2}

 

- la densità lineare, definita come massa nell'unità di lunghezza

 

\rho_l=\frac{M}{L}

 

e che si misura in chilogrammi al metro.

 

\frac{\mbox{kg}}{\mbox{m}}

 

Densità di un corpo rigido non omogeneo

 

(Da qui in poi il discorso si riferisce esclusivamente agli studenti universitari). Se la massa non è distribuita omogeneamente in un corpo rigido possiamo comunque giungere a delle formule, ma dobbiamo seguire un approccio diverso. Qui naturalmente non ha senso parlare di densità del corpo a meno che non ci si voglia riferire alla densità media, nel qual caso ricorreremo alla formula

 

\overline{\rho}=\frac{M}{V}

 

Cos'altro si può dire riguardo alla densità di un corpo non omogeneo? In questo caso la densità varia da punto a punto e a tutti gli effetti abbiamo a che fare con una funzione densità \rho:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}, che associa ad una terna di coordinate spaziali un valore di densità

 

\rho=\rho(x,y,z)

 

Negli esercizi e nelle applicazioni l'espressione analitica della funzione densità può essere dedotta sperimentalmente o assegnata in via teorica. Immaginiamo di dividere un corpo in un numero di volumetti infinitesimi dV, ognuno contenente una frazione infinitesima di massa dm.

 

In un volumetto infinitesimo, ossia ridotto ad un parallelepipedo infinitesimo, si può tranquillamente considerare la massa distribuita in modo uniforme, e quindi si può definire la densità come:

 

 \rho(x,y,z) = \frac{dm}{dV}

 

da cui la formula inversa

 

dm=\rho(x,y,z)dV

 

D'altronde possiamo esprimere il volume del cubo come prodotto delle misure dei suoi spigoli

 

dm=\rho(x,y,z)dxdydz

 

A questo punto usiamo la densità del corpo per calcolare la massa totale: non dovremo fare altro che calcolare un integrale triplo esteso al volume del corpo 

 

M=\int_{V}{\rho(x,y,z)dxdydz}

 

Quella che abbiamo appena scritto è la formula per la massa di un corpo non omogeneo dalla densità, che viene espressa punto a punto dalla funzione ρ(x,y,z).

 

 

Altri tipi di densità

 

Esattamente come nel caso dei corpi rigidi omogenei, oltre alla densità (volumica) è possibile definire altre due tipologie di densità

 

- la densità superficiale

 

\rho_s:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},\ \ \ \rho_s=\rho_s(x,y)

 

la quale ci consentirà, con un ragionamento analogo al caso volumico, di determinare la massa del corpo

 

M=\int_{S}\rho_s(x,y)dxdy

 

- la densità lineare

 

\rho_l:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ \ \ \rho_l=\rho_l(x)

 

e anche in questo caso potremo calcolare la massa con un'opportuna formula

 

M=\int_{l}{\rho_{l} \: dl}

 

Tabella dei valori di densità dei materiali

 

Veniamo infine all'ultima parte della lezione. Nelle precedenti righe abbiamo visto come calcolare la densità di un corpo rigido mediante opportune formule; oltre ai materiali solidi le stesse formule possono essere utilizzate per calcolare i valori di densità dei materiali gassosi e liquidi.

 

Ad esempio, se volessimo determinare la densità dell'aria, basterebbe prendere un cubo con un certo volume e dividerne il valore di massa (contenitore escluso) per il volume. Questo metodo ci consentirebbe di calcolare la densità dell'acqua o di qualsiasi altro materiale liquido, gassoso o solido.

 

A titolo di completezza riportiamo qui di seguito una tabella con le densità di alcuni materiali che ricorrono spesso negli esercizi. Come avremo modo di approfondire nel seguito, la densità di un materiale non è un valore che resta costante in qualsiasi condizione fisica, infatti può cambiare al variare di temperatura e pressione.

 

I valori di riferimento per le densità vengono solitamente espressi in condizioni atmosferiche standard, cioè ad una temperatura di 20 °C e ad una pressione di 1 atm.

 

 

Materiale Densità (in kg/m3) 
Acciaio (al carbonio) 7500 - 8000
Acetilene 1,173
Acqua 998,2071
Acqua (a 4 °C) 1000
Acqua di mare (salinità del 3%) 1020
Alcool etilico  806
Alluminio 2700
Ammoniaca 0,771
Aria secca (a 15 °C) 1,225
Argento 10490
Azoto 1,2507
Benzina 680
Cemento 2700 - 3000
Monossido di carbonio 1,250
Elio 0,178
Ferro 7874
Ghiaccio 916,8
Glicerina 1261
Idrogeno 89
Legno (densità media) 750
Legno di cedro 570
Legno d'ebano 1260
Legno d'olmo 560 - 1180
Legno di pino bianco 320 - 1080
Legno di quercia 690 - 1280
Mercurio 13534
Nichel 8800
Olio d'oliva 916
Olio di semi 920
Olio motore 880
Oro 19320
Ossigeno 1,429
Ottone 8440 - 9700
Osso 1700 - 2000
Ozono 2,144
Piombo 11340
Platino 21370
Rame 8960
Sughero 220 - 260
Terra 5520
Tungsteno 19300
Vetro 2400 - 2800
Zinco 6900

 

 


 

Ora che abbiamo tutti i prerequisiti necessari passiamo allo studio del centro di massa dei corpi rigidi, che sarà l'argomento della prossima lezione. Se volete allenarvi e consultare degli esercizi svolti sulla densità, non esitate e usate la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

Lezione precedente..........Lezione successiva


Tags: definizione e formula della densità - densità lineare, superficiale e volumica di un corpo rigido omogeneo e non omogeneo.