Velocità e accelerazione del centro di massa

Quando si osserva un sistema cositutito da più corpi puntiformi, lo studio del suo moto può essere molto complesso ma di solito il moto del centro di massa è piuttosto semplice e rispetta le leggi del moto che già conosciamo.

 

Abbiamo visto come calcolare la posizione del centro di massa conoscendo le masse che costituiscono il sistema e le relative posizioni rispetto all'origine del sistema di riferimento. Come facciamo invece a studiare il moto del centro di massa e a determinarne la velocità e l'accelerazione?

 

 

Velocità del centro di massa

 

La formula per la velocità del centro di massa è analoga rispetto a quella che permette di calcolarne la posizione

 

 \vec{v}_{cm} = \frac{m_{1} \vec{v}_{1} + m_{2} \vec{v}_{2} + ... + m_{n} \vec{v}_{n}}{m_{1} + m_{2} + ... + m_{n}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{m_{i} \vec{v}_{i}}}{\sum_{i = 1}^{n}{m_{i}}}

 

A numeratore abbiamo la somma vettoriale dei prodotti tra le masse dei singoli corpi e le rispettive velocità: in altri termini, abbiamo la somma vettoriale delle quantità di moto di ciascun corpo. A denominatore abbiamo la massa totale del sistema.

 

Ricordiamoci che la somma delle quantità di moto dei singoli corpi corrisponde alla quantità di moto totale del sistema, per cui possiamo scrivere:

 

 \vec{v}_{cm} = \frac{\vec{p}_{tot}}{M}

 

dove con M indichiamo la somma di tutte le masse, e dunque la massa totale del sistema.

 

Se ricaviamo la formula inversa per la quantità di moto dalla velocità del centro di massa, otteniamo:

 

 \vec{p}_{tot} = M \vec{v}_{cm}

 

Abbiamo così un'equazione che, per struttura, è identica a quella della definizione di quantità di moto, che ci dice che la quantità di moto totale del sistema è uguale al prodotto della massa totale per la velocità del centro di massa. Non ci serve allora conoscere necessariamente il valore di tutte le quantità di moto dei singoli corpi che costituiscono il sistema per trovare quella totale: se abbiamo individuato il centro di massa e ne conosciamo la sua velocità, ci basta impostare il semplice calcolo grazie alla formula appena trovata.

 

 

Osservazione (velocità del centro di massa e conservazione della quantità di moto)

 

Sappiamo che, in assenza di forze esterne, vige il principio di conservazione della quantità di moto per un sistema di corpi. Applicando questo concetto a quanto appena visto diremo che, se la risultante di tutte le forze esterne al sistema è nulla, allora la quantità di moto del centro di massa si conserva. Se la massa totale del sistema è costante, questo implica che anche la velocità del centro di massa è costante.

 

Accelerazione del centro di massa

 

Anche la formula per l'accelerazione del centro di massa è simile a quelle per la posizione e la velocità:

 

 \vec{a}_{cm} = \frac{m_{1} \vec{a}_{1} + m_{2} \vec{a}_{2} + ... + m_{n} \vec{a}_{n}}{m_{1} + m_{2} + ... + m_{n}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{m_{i} \vec{a}_{i}}}{\sum_{i = 1}^{n}{m_{i}}}

 

Il numeratore è dato dalla somma dei prodotti delle masse per le rispettive accelerazioni mentre a denominatore abbiamo la somma di tutte le masse, ossia la massa totale del sistema, che abbiamo indicato con M.

 

Ogni singolo termine del numeratore rappresenta una forza: il prodotto massa per accelerazione compare infatti nel secondo principio della Dinamica. La somma vettoriale di tutte le singole forze ci dà la forza risultante su tutto il sistema, e quindi:

 

 \vec{a}_{cm} = \frac{\vec{F}_{tot}}{M}

 

Ricordiamoci che le uniche forze che concorrono alla forza totale appena scritta sono le forze esterne. Abbiamo già visto infatti che eventuali forze interne generatesi dall'interazione tra i singoli corpi del sistema non vanno considerate, perché si creano sempre in coppie di forze uguali e contrarie, secondo la terza legge di Newton, e la loro somma è pertanto sempre nulla.

 

Anche in questo caso possiamo invertire la formula per l'accelerazione del centro di massa e ricavare la forza totale agente sul centro di massa:

 

 \vec{F}_{tot} = M \vec{a}_{cm}

 

La forza totale è uguale al prodotto della massa totale del sistema per l'accelerazione del centro di massa. A ben vedere, questa non è nient'altro che la seconda legge di Newton applicata al caso di un sistema di particelle.

 

 

Osservazione (forza totale e riduzione al centro di massa)

 

Visto che per la forza totale ci basta conoscere la sola accelerazione del centro di massa, è in questo punto che possiamo immaginare sia applicata la forza risultante.

 

 


 

Fino a qui abbiamo trattato il caso di un sistema di particelle. Nelle prossime lezioni vedremo che, quando si considera una forza applicata ad un corpo rigido, è sempre possibile identificare il corpo con il centro di massa, almeno sperimentalmente; è proprio in questo punto che vanno applicate le forze che agiscono sul corpo.

 

Come al solito vi ricordiamo che potete usare la barra di ricerca interna per reperire tutti gli esercizi svolti che vi interessano. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

Lezione precedente..........Lezione successiva


Tags: moto del centro di massa di un sistema di corpi - velocità e accelerazione del centro di massa.