Centro di massa

Ogni sistema formato da più corpi dotati di massa possiede un particolare punto, detto centro di massa (CdM) che gode di particolari proprietà.

 

In questa lezione faremo riferimento ai corpi puntiformi (punti materiali) e presenteremo tutte le formule del centro di massa nel caso di un sistema di 2 corpi e di n corpi, in una dimensione ed in tre dimensioni, e mostreremo un esempio di calcolo esplicito delle coordinate del centro di massa.

 

Nota bene: qui su YM c'è anche un formulario di Geometria Analitica in cui spieghiamo la differenza tra baricentro geometrico e centro di massa. In una delle successive lezioni tratteremo invece il concetto di baricentro fisico.

 

Formule per il centro di massa

 

Per definizione, il centro di massa di un sistema di particelle è il punto tale per cui il sistema si comporta come se la massa fosse tutta concentrata in tale punto, ed è qui che si immaginano siano applicate le forze che agiscono sul sistema.

 

Come si trova il centro di massa? Ci sono diverse formule che permettono di individuarlo e che variano al variare del numero di dimensioni in cui vive il sistema considerato.

 

Centro di massa in una dimensione

 

Nel caso unidimensionale di n corpi disposti lungo un'unica retta, una volta scelta l'origine e fissate di conseguenza le coordinate dei corpi, il centro di massa si calcola con la seguente formula:

 

 x_{cm} = \frac{m_{1}x_{1} + m_{2}x_{2} + ... + m_{n}x_{n}}{m_{1} + m_{2} + ... + m_{n}}

 

La coordinata del centro di massa in una dimensione viene quindi individuata mediante una media ponderata: il numeratore viene definito mediante la somma dei prodotti di ciascuna massa m per la rispettiva coordinata x, calcolata a partire dall'origine del sistema di riferimento. A denominatore abbiamo la somma di tutte le masse.

 

Dalla precedente formula si capisce subito che la posizione del centro di massa è maggiormente influenzata dai corpi più massivi.

 

In maniera più compatta, possiamo scrivere la formula del centro di massa con la sommatoria.

 

 x_{cm} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{m_{i}x_{i}}}{\sum_{i = 1}^{n}{m_{i}}}

 

Nel caso più semplice del centro di massa di due soli corpi in una dimensione, la formula diventa:

 

 x_{cm} = \frac{m_{1}x_{1} + m_{2}x_{2}}{m_{1} + m_{2}}

 

 

Esempi sul centro di massa in una dimensione

 

1) Vediamo un piccolo esempio. Una sbarretta di legno di massa trascurabile regge alle sue estremità due corpi: quello a sinistra ha una massa di 5 kg ed una distanza dall’origine di 1,2 m; quello a destra ha una massa di 2 kg ed una distanza di 4 m.

 

Calcoliamo la posizione del centro di massa:

 

 x_{cm} = \frac{(5 \mbox{ kg}) \cdot (1,2 \mbox{ m}) + (2\mbox{ kg}) \cdot (4\mbox{ m})}{5\mbox{ kg} + 2\mbox{ kg}}=2\mbox{ m}

 

Come possiamo osservare, il centro di massa è più vicino al corpo dotato di una maggiore massa. Se invece considerassimo due corpi con la stessa massa, il centro di massa del sistema si troverebbe esattamente a metà strada tra i due corpi.

 

 

2) Ora proviamo a calcolare il centro di massa del sistema Terra - Sole.

 

Impostiamo l'origine del sistema di riferimento nel centro del Sole e facciamo riferimento ai dati. La massa del Sole è circa 2·1030 kg, la massa della Terra è circa 5,97·1024 kg e la distanza media della Terra dal Sole vale approssimativamente 1,5·1011 m.

 

 x_{cm} = \frac{(2 \cdot 10^{30}\mbox{ kg}) \cdot (0\mbox{ m}) + (5,97 \cdot 10^{24}\mbox{ kg}) \cdot (1,5 \cdot 10^{11}\mbox{ m})}{2 \cdot 10^{30}\mbox{ kg} + 5,97 \cdot 10^{24}\mbox{ kg}} = 4,48 \cdot 10^{5}\mbox{ m}

 

Tenendo presente che il raggio solare è indicativamente pari a 6,95·108 m, dal risultato che abbiamo calcolato si deduce che il centro di massa si trova all'interno del Sole. La sua massa infatti è talmente maggiore di quella terrestre che la posizione del centro di massa non viene quasi influenzata dalla Terra.

 

Centro di massa in tre dimensioni

 

Nel caso di un sistema di corpi disposti nello spazio, dobbiamo trovare le tre coordinate del centro di massa in modo del tutto analogo al caso unidimensionale:

 

\\ x_{cm} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{m_{i}x_{i}}}{\sum_{i = 1}^{n}{m_{i}}} \\ \\ \\ y_{cm} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{m_{i}y_{i}}}{\sum_{i = 1}^{n}{m_{i}}}\\ \\ \\ z_{cm} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{m_{i}z_{i}}}{\sum_{i = 1}^{n}{m_{i}}}

 

 


 

Nella lezione successiva vedremo come studiare il moto del centro di massa di un sistema di corpi. Se vi servono esercizi svolti, vi consigliamo di usare la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono tantissimi esercizi risolti e spiegati nel dettaglio dallo Staff. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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