Urti elastici in due dimensioni

Sappiamo già cosa si intende per urto elastico e abbiamo provato, nella lezione precedente, a risolvere qualche esercizio di esempio con corpi che si muovono lungo una retta. Abbiamo cioè visto esempi di urti elastici unidimensionali, i più semplici da affrontare.

 

La trattazione diventa più complessa quando si passa a corpi che hanno la possibilità di muoversi in più di una dimensione. Soffermiamoci qui a vedere come è possibile impostare correttamente i problemi riguardanti gli urti elastici in due dimensioni.

 

Come studiare gli urti elastici in due dimensioni

 

Per studiare un sistema fisico caratterizzato da un urto elastico bidimensionale è fondamentale lavorare sulle componenti, in modo da ridurre opportunamente il modello ad un problema in una dimensione. Per capire come ragionare facciamo riferimento come di consueto ad un esempio.

 

Abbiamo due biglie sul tavolo da biliardo: una bianca e una nera. Con la bianca vogliamo colpire la nera, che è inizialmente ferma, per mandarla in buca. Le palle da biliardo hanno la possibilità di muoversi in due dimensioni visto che il tavolo è idealmente una regione di piano cartesiano. Immaginiamo di fissare l'asse x parallelamente a un lato del tavolo e l'asse y parallelo all'altro lato.

 

Ora immaginiamo di colpire la biglia bianca in modo che questa possa muoversi lungo una direzione concidente con l'asse x, come in figura.

 

 

Urto elastico in due dimensioni

 

 

La biglia bianca si muove a una velocità di 5 m/s mentre quella nera è inizialmente ferma. Dopo l'urto, la biglia bianca continua il suo moto in una direzione che forma con l'asse x un angolo di 50°, mentre quella nera prosegue con un angolo di 30°. Quali sono le velocità delle biglie dopo l'urto?

 

Nell'esempio considerato abbiamo a che fare con un urto elastico, in cui si conservano sia la quantità di moto, sia l'energia cinetica, perché le biglie non si rompono, non si deformano e non disperdono energia sotto altre forme.

 

Il problema è che dobbiamo impostare la conservazione della quantità di moto separatamente sui due assi. Dobbiamo quindi scrivere un opportuno sistema di equazioni, ricordando nel frattempo la formulazione della conservazione della quantità di moto per un sistema di corpi:

 

 \begin{cases} m_{1}v_{1ix} + m_{2}v_{2ix} = m_{1}v_{1fx} + m_{2}v_{2fx} \\ m_{1}v_{1iy} + m_{2}v_{2iy} = m_{1}v_{1fy} + m_{2}v_{2fy} \end{cases}

 

Questo è il sistema generale di formule per gli urti elastici in due dimensioni, che ci permette di risolvere esercizi di questo tipo. La prima equazione stabilisce la conservazione della quantità di moto lungo il solo asse x, mentre con la seconda impostiamo lo stesso principio per l'asse y.

 

 

Ora torniamo al nostro particolare esempio ed adattiamo il sistema in base a ciò che abbiamo. Con il pedice 1 indichiamo le grandezze relative alla biglia bianca e col 2 quelle relative alla biglia nera.

 

Visto che le biglie sono identiche, possiamo semplificare la massa in entrambe le equazioni. Poiché la velocità iniziale della biglia bianca è parallela all'asse x, la sua componente lungo y è nulla e può essere eliminata dal sistema: v_{1iy}=0. Inoltre la biglia nera è inizialmente ferma e di conseguenza entrambe le componenti della sua velocità iniziale possono essere cancellate: v_{2ix}=0=v_{2iy}.

 

 \begin{cases} v_{1ix} = v_{1fx} + v_{2fx} \\  0 = v_{1fy} + v_{2fy} \end{cases}

 

A questo punto le solite formule trigonometriche per i triangoli rettangoli vengono in nostro soccorso, perché ci permettono di esplicitare poi le componenti delle velocità introducendo i seni e i coseni degli angoli.

 

 \begin{cases} v_{1i} = v_{1f}\cos(\alpha) + v_{2f} \cos(\beta) \\  0 = v_{1f} \sin(\alpha) - v_{2f} \sin(\beta) \end{cases}

 

Il segno davanti alla componente y della velocità finale della biglia nera è un meno perché, come si vede dal disegno, è diretta nel verso negativo dell'asse y.

 

Ora possiamo ad esempio ricavare la velocità finale della biglia nera dalla seconda equazione e sostituirla nella prima:

 

 \begin{cases} v_{1i} = v_{1f} \cos(\alpha) + v_{2f} \cos(\beta) \\  v_{2f} = v_{1f} \frac{\sin( \alpha)}{\sin(\beta)} \end{cases}

 

Effettuiamo una sostituzione nella prima equazione

 

 \begin{cases} v_{1i} = v_{1f} \cos(\alpha) + v_{1f} \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)} \cos(\beta) \\  v_{2f} = v_{1f} \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)} \end{cases}

 

Poi un raccoglimento totale su v_{1f}

 

 \begin{cases} v_{1i} = v_{1f} \left( \frac{\cos(\alpha)\sin(\beta) + \sin(\alpha)\cos(\beta)}{\sin(\beta)} \right) \\  v_{2f} = v_{1f} \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)} \end{cases}

 

Ed infine invertiamo la prima equazione in favore di v_{1f}

 

 \begin{cases} v_{1f} = v_{1i} \left( \frac{\sin \beta}{\cos \alpha \sin \beta + \sin \alpha \cos \beta} \right) \\  v_{2f} = v_{1f} \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} \end{cases}

 

A questo punto, e solo a questo punto, sostituiamo i dati. Ricordiamoci che è fondamentale effettuare quanti più calcoli letterali possibili e sostituire i valori numerici solamente alla fine:

 

 \begin{cases} v_{1f} = 2,54 \: \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}} \\  v_{2f} = 3,89 \: \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}  \end{cases}

 

 

Osservazioni

 

1) Osserviamo che, non essendoci alcuna componente della quantità di moto iniziale dei due corpi lungo l'asse y prima dell'urto, anche dopo l'urto la somma delle due quantità di moto lungo questo asse è nulla, così come previsto dal principio di conservazione della quantità di moto. Infatti la componente verticale della biglia bianca è uguale a quella della biglia nera, ma opposta.

 

Allo stesso modo, la quantità di moto della biglia bianca prima dell'urto (quella della nera era zero, perché ferma), equivale alla somma delle due componenti delle quantità di moto delle biglie lungo l'asse x dopo l'urto. Anche lungo quest'asse la quantità di moto si è conservata.

 

 

2) In questo esempio non ci siamo serviti della conservazione dell'energia cinetica perché non era necessario. Ad ogni modo nulla ci avrebbe impedito di farlo, perché l'urto considerato è un urto elastico, dunque avremmo potuto scrivere le equazioni ricordandoci di separare i moti lungo i due assi, in modo del tutto analogo a quanto fatto per la quantità di moto.

 

 


 

Qui abbiamo finito! Vi aspettiamo nella prossima lezione, in cui studieremo gli urti anelastici; se volete cimentarvi con degli esercizi svolti, non esitate e fate buon uso della barra di ricerca interna. YM è pieno zeppo di esercizi risolti e commentati dallo Staff! ;) 

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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