Urto elastico

È ora di passare all'azione e di mettere in pratica le nozioni teoriche che abbiamo visto nelle ultime lezioni. Qui cominceremo ad occuparci degli urti ed in particolare degli urti elastici, un modello che ricorrerà spesso e volentieri nelle applicazioni e negli esercizi che affronteremo nel prosieguo degli studi.

 

Prima di tutto introdurremo la definizione di urto elastico e analizzeremo le proprietà fisiche che lo caratterizzano; nel seguito tratteremo il metodo per studiare i sistemi soggetti ad urti elastici proponendo tutte le formule che, di conseguenza, dovremo usare.

 

Per chi fosse qui per un ripasso, anticipiamo subito che gli urti anelastici verranno trattati in una lezione a parte. ;)

 

Definizione di urto e di urto elastico

 

Per presentare la definizione di urto elastico ci serve innanzitutto capire qual è la definizione di urto in generale. In Fisica si ha un urto quando due corpi si scontrano tra di loro e la risultante delle forze è nulla.

 

Nella lezione sulla conservazione della quantità di moto per sistemi di corpi abbiamo già visto che le forze interne al sistema sono irrilevanti rispetto alla risultante delle forze, perché in accordo con il principio di azione e reazione le forze esercitate tra i corpi che si scontrano sono uguali e contrarie. Di conseguenza esse non contribuiscono al calcolo della forza risultante, che è perciò data solo dalla somma delle forze esterne.

 

In certi casi la somma delle forze esterne non è nulla, ma è comunque possibile parlare di urto se queste forze sono trascurabili rispetto a quella che si genera durante l'urto. Ad esempio, se colpiamo una pallina da tennis in volo, la forza peso è una forza esterna non controbilanciata da nessuna altra forza, ma quella che si genera nell'urto è una forza decisamente maggiore rispetto alla forza peso della pallina, che può pertanto essere trascurata.

 

 

Definizione di urto elastico

 

Nello specifico, si definisce urto elastico un urto in cui si conservano sia la quantità di moto, sia l'energia cinetica del sistema. Quest'ultima nella fattispecie si conserva quando i due corpi che si urtano rimbalzano l'uno contro l'altro senza deformarsi; in questo modo non c'è alcuna dispersione di energia cinetica.

 

Facciamo un piccolo riepilogo:

 

- urto ↔ le forze esterne sono trascurabili;

 

- urto elastico ↔ conservazione della quantità di moto ; conservazione dell'energia cinetica.

 

Urto elastico in una dimensione

 

Ora che abbiamo dato la definizione, possiamo passare a scrivere le formule per gli urti elastici deducendole dalla definizione stessa. Per semplicità partiamo dal caso di due soli corpi che si urtano elasticamente lungo una retta (urto unidimensionale).

 

In questa eventualità, tenendo conto che la quantità di moto e l'energia cinetica del sistema si conservano, possiamo considerare gli istanti iniziale (prima dell'urto) e finale (dopo l'urto) e impostare il seguente sistema

 

 

\begin{cases}p_{1,i}+p_{2,i}=p_{i,f}+p_{2,f}\\ \\ K_{1,i}+K_{2,i}=K_{1,f}+K_{2,f}\end{cases}

 

 

Notate che non abbiamo riportato la notazione vettoriale perché stiamo ragionando in una dimensione, e che - a costo di essere ripetitivi - ci interessa il confronto tra le quantità di moto e le energie cinetiche iniziali e finali del sistema.

 

Ok, ora scriviamo esplicitamente le espressioni delle grandezze coinvolte

 

 

 \begin{cases} m_{1} v_{1i} + m_{2} v_{2i} = m_{1} v_{1f} + m_{2} v_{2f} \\ \\ \frac{1}{2}m_{1}v_{1i}^{2} + \frac{1}{2}m_{2}v_{2i}^{2} = \frac{1}{2}m_{1}v_{1f}^{2} + \frac{1}{2}m_{2}v_{2f}^{2} \end{cases}

 

 

Questo è il sistema di formule per studiare un urto elastico qualsiasi. Ad esempio, con semplici calcoli algebrici, possiamo ricavare le velocità finali conoscendo quelle iniziali, mediante le seguenti equazioni:

 

 

\\ v_{1f} = \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v_{1i} + \frac{2m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v_{2i}\\ \\ \\ v_{2f} = \frac{m_{2} - m_{1}}{m_{1} + m_{2}} v_{2i} + \frac{2m_{1}}{m_{1} + m_{2}} v_{1i}

 

 

Naturalmente le grandezze da determinare varieranno a seconda dell'applicazione o dell'esercizio, ma il sistema di formule per gli urti elastici è sempre lo stesso. ;)

 

Esempio sugli urti elastici

 

Sicuramente alcuni di voi avranno sperimentato la rotaia a cuscino d'aria nel laboratorio di fisica, a scuola. Per chi non l'avesse mai vista, spieghiamo brevemente di cosa si tratta. Si ha una sorta di binario dal quale esce un getto di aria verso l'alto. Sul binario viene lasciato scorrere un carrello che non appoggia direttamente sulla rotaia, bensì "galleggia" sul cuscino d'aria creato dal binario. In questo modo l'attrito è pressoché nullo ed è possibile così realizzare un esperimento di moto rettilineo uniforme.

 

Ora per proporre un esempio di urto elastico vogliamo considerare un esperimento più distruttivo, lanciando due carrelli l'uno contro l'altro, ognuno con la propria velocità. Al momento del loro scontro, assisteremo ad un urto, e supponiamo che essi rimbalzino l'uno contro l'altro senza deformarsi.

 

Nel caso dell'urto dei due carrelli sulla rotaia a cuscino d'aria, il principio di conservazione della quantità di moto è valido perché, non essendoci attrito e avendo forze peso perfettamente controbilanciate dalla reazione vincolare, si ha che la somma delle forze esterne è nulla.

 

Anche l'energia cinetica si conserva, perché durante l'urto i due carrelli non si rompono e non si deformano. Se lo facessero, parte della loro energia verrebbe dispersa sotto altre forme. A voler essere precisi, parte dell'energia si disperde comunque sotto forma di energia sonora ad esempio (durante l'urto si produce un rumore) per cui, nell'affermare che l'energia cinetica si conserva, si sta compiendo un'approssimazione che può essere in certi casi molto buona, come nel nostro esempio.

 

L'esempio appena considerato descrive alla perfezione un urto elastico. Ora applichiamo le formule risolvendo un esercizio con dei dati numerici.

 

 

Esempi numerici con le formule degli urti elastici

 

1) Il primo carrello sulla rotaia a cuscino d'aria ha una massa di 200 grammi e si muove verso destra con una velocità di 4 m/s; il secondo ha una massa di 180 grammi e si muove verso sinistra a 3 m/s. Dopo l'urto elastico il primo carrello si muove verso sinistra con una velocità di 1 m/s. Qual è la velocità del secondo carrello dopo l'urto?

 

Per rispondere, impostiamo l'equazione per la conservazione della quantità di moto.

 

 m_{1} v_{1i} + m_{2} v_{2i} = m_{1} v_{1f} + m_{2} v_{2f}

 

Questa equazione è sufficiente (esercizio facile! ;) ) perché conosciamo tutto tranne la velocità finale del secondo carrello. Attenzione a due cose:

 

- le unità di misura della massa vanno convertite in chilogrammi;

 

- le velocità hanno segni diversi a seconda del verso del moto dei carrelli sulla rotaia. Scegliamo come positive le velocità verso destra e negative quelle verso sinistra.

 

\\ v_{2f} = \frac{m_{1} v_{1i} + m_{2} v_{2i} - m_{1} v_{1f}}{m_{2}}\\ \\ \\ v_{2f} = \frac{(0,2 \mbox{ kg}) \cdot \left(4 \ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\right) + (0,18\mbox{ kg}) \cdot \left(-3\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\right) - (0,2\mbox{ kg}) \cdot \left(-1\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\right)}{(0,18\mbox{ kg}}=2,56\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}

 

Poiché il risultato è positivo, il carrello dopo l'urto si muoverà verso destra.

 

 

2) Vediamo un secondo esempio, sempre riguardante un urto elastico. Abbiamo due carrelli della stessa massa che si urtano elasticamente. La velocità iniziale del primo è pari a 5 m/s, mentre il secondo carrello è inizialmente fermo. Quali sono le velocità dei due carrelli dopo l'urto?

 

Questa volta non ci basta più la sola equazione di conservazione della quantità di moto, ma dobbiamo appellarci ad entrambe le condizioni che definiscono gli urti elastici. Metteremo quindi a sistema l'equazione per la conservazione della quantità di moto con quella per la conservazione dell'energia cinetica.

 

 \begin{cases} m_{1} v_{1i} + m_{2} v_{2i} = m_{1} v_{1f} + m_{2} v_{2f} \\ \frac{1}{2}m_{1}v_{1i}^{2} + \frac{1}{2}m_{2}v_{2i}^{2} = \frac{1}{2}m_{1}v_{1f}^{2} + \frac{1}{2}m_{2}v_{2f}^{2} \end{cases}

 

Conosciamo tutto tranne le due velocità finali. Semplifichiamo tutte le frazioni 1/2 e le masse, perché compaiono in tutti i termini per ipotesi sono uguali; possiamo inoltre eliminare la velocità iniziale del secondo carrello perché inizialmente fermo.

 

 \begin{cases} v_{1i} = v_{1f} + v_{2f} \\ v_{1i}^{2} = v_{1f}^{2} + v_{2f}^{2} \end{cases}

 

Ricaviamo la velocità finale del primo carrello dalla prima equazione e sostituiamola nella seconda. Qui, e più in generale, è importante procedere con i calcoli letterali e sostituire i dati numerici solo alla fine.

 

\\ \begin{cases} v_{1f} = v_{1i} - v_{2f} \\ v_{1i}^{2} = (v_{1i} - v_{2f})^{2} + v_{2f}^{2} \end{cases}

 

Sviluppiamo il quadrato del binomio nella seconda equazione

 

\begin{cases} v_{1f} = v_{1i} - v_{2f} \\ v_{1i}^{2} = v_{1i}^{2} - 2 v_{1i}v_{2f} + v_{2f}^{2} + v_{2f}^{2} \end{cases}

 

Un paio di semplificazioni

 

\begin{cases} v_{1f} = v_{1i} - v_{2f} \\ 2v_{2f}^{2} - 2 v_{1i}v_{2f} = 0 \end{cases}

 

ed infine un raccoglimento totale nella seconda equazione

 

\begin{cases} v_{1f} = v_{1i} - v_{2f} \\ v_{2f}(v_{2f} - v_{1i}) = 0 \end{cases}

 

Dalla seconda equazione abbiamo due soluzioni

 

\begin{cases} v_{1f} = v_{1i} - v_{2f} \\ v_{2f}=0\ \vee\ v_{2f}=v_{1i}\end{cases}

 

La prima ci dà una velocità finale del secondo carrello pari a zero, e ci conduce a

 

\begin{cases}v_{1f}=v_{1i}\\ v_{2f}=0\end{cases}

 

ed evidentemente va scartata. La seconda soluzione ci dice che il secondo carrello, dopo l'urto elastico, avrà la stessa velocità del primo e quest'ultimo invece si ferma.

 

 \begin{cases} v_{1f} = 0 \\ v_{2f} = v_{1i} = 5 \: \frac{m}{s} \end{cases}

 

ed è accettabile. Essa ci dice che tutta la quantità di moto del primo carrello si è trasferita integralmente al secondo, il che è del tutto ragionevole alla luce del fatto che il primo carrello si è fermato. Non dimentichiamoci che negli urti elastici, oltre alla quantità di moto, anche l'energia cinetica si conserva!

 

 


 

Nella lezione successiva approfondiremo lo studio degli urti elastici nel caso bidimensionale. Se siete in cerca di esercizi svolti potete usare la barra di ricerca interna, qui su YM avete a disposizione tantissimi esercizi risolti e commentati nel dettaglio. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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