Conservazione della quantità di moto per un sistema di corpi

Nella precedente lezione abbiamo enunciato il principio di conservazione della quantità di moto e ne abbiamo analizzato le implicazioni nel caso di sistemi costituiti da un corpo. Ora facciamo un passo in avanti e vediamo quali sono le conseguenze del medesimo principio nel caso di un sistema costituito da più corpi.

 

L'analisi che segue troverà numerose applicazioni nella risoluzione degli esercizi e nello studio dei sistemi, a partire dalla lezione successiva, in cui tratteremo gli urti elastici.

 

Conservazione della quantità di moto con più corpi

 

Bene, sappiamo quali condizioni devono valere affinché un corpo sia soggetto alla conservazione della quantità di moto: la forza risultante deve essere nulla. Sappiamo anche quali sono le conseguenze del principio: la quantità di moto si conserva.

 

Nel caso dei sistemi con più corpi come si traduce la condizione relativa alla risultante delle forze, e qual è la formula che esprime la conservazione della quantità di moto?

 

Come spiegheremo tra un istante, servendoci di un opportuno esempio, in questo contesto si ragiona sulla quantità di moto complessiva del sistema e ciò semplifica parecchio l'analisi, perché ci consente di ricavare diverse informazioni semplicemente considerando le forze esterne agenti sul sistema. Ma andiamo con ordine...

 

Vi ricordate l'esempio della palla da biliardo? Ora consideriamo l'urto tra due biglie, in questo modo abbiamo un sistema fatto di due corpi e vogliamo capire se la quantità di moto del sistema si conserva oppure no.

 

La forza risultante che agisce sul sistema è data dalla somma di due tipi di forze: le forze esterne e le forze interne.

 

Per forze esterne intendiamo tutte le forze che agiscono sul sistema dall'esterno: nel caso delle palle del biliardo dobbiamo considerare la forza peso delle biglie e la corrispondente reazione vincolare del tavolo.

 

Le forze interne sono invece quelle che si sviluppano tra i corpi che compongono il sistema quando questi interagiscono tra loro. Nel nostro esempio sono le forze che si creano quando le biglie urtano le une con le altre.

 

Possiamo allora scrivere:

 

 \vec{F}_{ris} = \sum{\vec{F}_{int}} + \sum{\vec{F}_{est}}

 

Analizziamo le forze interne. Nel momento dell'urto, la prima biglia esercita una forza sull'altra la quale, per il principio di azione-reazione, esercita una forza uguale e contraria sulla prima.

 

 \vec{F}_{1,2} = - \vec{F}_{2,1}

 

Questo significa che la somma delle forze interne è nulla perché si tratta di sommare due forze di pari valore ma di segno opposto:

 

\sum{\vec{F}_{int}}=\underline{0}

 

Ricordiamoci che a noi interessa la risultante delle forze agenti sul sistema e non su un singolo corpo. Ciò è vero anche nel caso di più di due corpi: qualunque interazione ci sia tra alcuni di essi, si genereranno sempre coppie di forze uguali e contrarie che si annullano tra di loro, se sommate.

 

A questo punto abbiamo capito che le uniche forze che concorrono alla forza risultante sono le forze esterne al sistema.

 

 \vec{F}_{ris} = \sum{\vec{F}_{est}}

 

Supponiamo di osservare la biglia bianca in moto verso quella nera, ferma sul tavolo da biliardo. Abbiamo già detto che le forze esterne sono la forza peso e la relativa reazione vincolare, trascurando l'attrito. Ma anche queste forze sono uguali e contrarie, pertanto la loro somma è certamente nulla.

 

Dunque anche la forza risultante sul sistema è nulla:

 

 \vec{F}_{ris} =  \sum{\vec{F}_{est}} = 0

 

Sappiamo anche che, grazie alla formulazione equivalenze del secondo principio della Dinamica, la forza risultante è uguale alla variazione della quantità di moto nel tempo.

 

 \vec{F}_{ris} = \frac{d \vec{p}}{dt}

 

Ma se la forza risultante è nulla, allora è nulla anche la variazione della quantità di moto, che rimane pertanto costante nel tempo.

 

Formula del principio di conservazione della quantità di moto per un sistema di corpi

 

Il precedente esempio non costituisce un caso particolare e mette in luce un aspetto generale dello studio dei sistemi di corpi. Il principio di conservazione della quantità di moto è valido anche per un sistema di più corpi, e la condizione sulla risultante delle forze nulla equivale alla condizione che la somma di tutte le forze esterne al sistema sia nulla. Le forze interne non vanno considerate perché, come abbiamo visto, non contribuiscono in alcun modo al calcolo della forza risultante.

 

Per un sistema di due corpi la formula che esprime la conservazione della quantità di moto è la seguente

 

\sum\vec{F}_{est}=0\ \Rightarrow\ \vec{p}_{1,i} + \vec{p}_{2,i} = \vec{p}_{1,f} + \vec{p}_{2,f}

 

A parole, se la risultante delle forze esterne al sistema è nulla, allora la somma vettoriale delle quantità di moto iniziali dei due corpi è uguale alla somma vettoriale delle quantità di moto finali.

 

Possiamo anche dire, in modo del tutto equivalente, che se la risultante delle forze esterne al sistema è nulla, allora la somma vettoriale delle quantità di moto dei corpi del sistema è costante.

 

Generalizzando il discorso al caso di n corpi

 

\sum\vec{F}_{est}=0\ \Rightarrow\ \sum_{j=1}^{n}\vec{p}_{j,i}=\sum_{j=1}^{n}\vec{p}_{j,f}

 

Non fatevi spaventare dalle somme vettoriali presenti nelle due formule. Negli esercizi e nelle prime applicazioni che si affrontano si considerano problemi in una dimensione, o comunque avrete sempre il modo di ridurvi a ragionare sugli assi, dopo aver scelto un sistema di riferimento adeguato. Un po' come si fa quando si studia l'equilibrio delle forze.

 

Conservazione per il sistema, non per i singoli corpi!

 

Attenzione: stiamo parlando di conservazione della quantità di moto dell'intero sistema e non dei suoi singoli componenti. Infatti ogni corpo che costituisce il sistema può modificare la propria quantità di moto, per cui il principio potrebbe non essere valido se considerassimo un singolo componente anziché il sistema nel suo complesso.

 

 


 

 

Il fatto che le forze interne siano ininfluenti ci semplifica molto la trattazione dei fenomeni legati agli urti, perché non ci interessa sapere esattamente quali forze si esercitano tra i corpi che urtano e non ci interessa nemmeno trovare un modo per calcolarle. In questo modo possiamo studiare il sistema limitandoci a considerare le condizioni che precedeno l'urto e e quelle immediatamente successive, ignorando quanto accaduto durante l'urto... Ma di questo parleremo nella lezione successiva. ;)

 

Per il momento è tutto: nel caso voleste mettervi alla prova con degli esercizi svolti, vi rimandiamo alla barra di ricerca interna. Qui su YM ci sono tantissimi esercizi risolti e spiegati nel dettaglio. :)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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