Conservazione della quantità di moto

Abbiamo già incontrato una legge di conservazione quando abbiamo parlato di energia e abbiamo visto che, sotto certe condizioni (in presenza di sole forze conservative), l'energia meccanica di un sistema si conserva.

 

Ora introduciamo una seconda legge di conservazione, il principio di conservazione della quantità di moto.

 

Principio di conservazione della quantità di moto

 

Per enunciare il principio di conservazione della quantità di moto prendiamo in considerazione un esempio. Consideriamo un corpo che si muove con una certa velocità costante, ad esempio un disco da hockey che scivola sul ghiaccio.

 

Le forze agenti verticalmente sono la forza peso, che si esercita verso il basso, e la reazione vincolare uguale e contraria diretta verso l'alto. In orizzontale ci potrebbe essere la forza di attrito che si oppone al moto, ma supponiamo che tale forza sia trascurabile nel caso considerato. In buona sostanza stiamo considerando un modello in cui la risultante delle forze è nulla.

 

Detto questo, abbiamo un esempio perfetto di sistema in cui vige il principio di conservazione della quantità di moto, il quale asserisce che se su un corpo agisce una forza risultante uguale a zero, allora la quantità di moto si conserva.

 

\vec{F}_{ris}=\underline{0}\ \Rightarrow\ \vec{p}=\mbox{costante}

 

L'enunciato del principio di conservazione della quantità di moto ci dice che la quantità di moto del corpo resta costante nel tempo a patto che la forza risultante sia nulla.

 

Detta in un modo equivalente, se osserviamo il corpo in due istanti di tempo diversi, la quantità di moto è la stessa. In formule scriveremo:

 

 \vec{p}_{i} = \vec{p}_{f}

 

In parole povere, se la risultante delle forze è nulla, la quantità di moto iniziale è uguale a quella finale.

 

Significato del principio di conservazione della quantità di moto con massa costante

 

Nell'esempio del disco da hockey che scivola sul ghiaccio senza attrito la massa rimane ovviamente la stessa in qualsiasi istante. In un caso del genere la conservazione della quantità di moto implica che la velocità rimane costante e dunque il disco si muove di moto rettilineo uniforme.

 

Infatti, essendo la massa del disco costante durante il moto, si ha che:

 

 m \vec{v}_{i} = m \vec{v}_{f}\ \Rightarrow \ \vec{v}_{i} = \vec{v}_{f}

 

Ma questo risultato era evidente: sapevamo già infatti che, se la forza risultante è nulla, allora i corpi si muovono di moto rettilineo uniforme. Ciò è dovuto al fatto che, a parità di massa, per il secondo principio della Dinamica una forza risultante nulla equivale ad un'accelerazione nulla, e dunque ad una velocità costante.

 

Conservazione della quantità di moto in termini vettoriali

 

Ricordiamoci che, quando si parla di quantità di moto, si parla di una grandezza vettoriale che va pertanto sempre intesa come un vettore con un modulo, una direzione ed un verso.

 

Di conseguenza se stiamo osservando un corpo che si muove nello spazio tridimensionale e soggetto ad una forza risultante nulla, allora la quantità di moto si conserva e questo significa che restano costanti tutte e tre le singole componenti del vettore \vec{p}.

 

Esempio

 

Vediamo un esempio bidimensionale. Abbiamo una palla da biliardo che urta contro una sponda, come in figura.

 

 

Principio di conservazione della quantità di moto

 

 

Sappiamo per esperienza che la biglia, dopo l'urto, proseguirà il proprio moto in una direzione che forma con la sponda un angolo identico a quello di incidenza. Se fissiamo un sistema di riferimento come in figura e scomponiamo il vettore quantità di moto lungo i due assi x e y, prima e dopo l'urto, osserviamo che la componente orizzontale è uguale in modulo ma ha verso opposto, mentre quella verticale è rimasta perfettamente identica.

 

Cosa è successo? Supponiamo che l'attrito tra la biglia e il manto verde del biliardo sia trascurabile (e lo è, perlomeno nei biliardi professionali): in questa ipotesi vige il principio di conservazione della quantità di moto perché la risultante delle forze è nulla.

 

Quando però la biglia urta contro la sponda, ecco che subisce, per una frazione di secondo, una forza impulsiva che ne modifica la quantità di moto. Poiché però la forza impulsiva si esercita lungo la direzione orizzontale, è solo questa componente della quantità di moto a subire una variazione. La componente verticale invece rimane costante, perché in quella direzione non agisce alcuna forza che possa modificarla.

 

Ecco allora che il principio di conservazione della quantità di moto può essere verificato anche solo per alcune delle sue componenti. Complessivamente però, nel nostro esempio, diremo che la quantità di moto totale non si è conservata.

 

Conservazione della quantità di moto e seconda legge di Newton

 

Il principio di conservazione della quantità di moto discende in modo naturale dalla seconda legge di Newton. Quest'ultima infatti, oltre alla classica formulazione 

 

\vec{F}_{ris}=m\vec{a}

 

ammette una formulazione equivalente che coinvolge la derivata vettoriale della quantità di moto

 

\vec{F}_{ris}=\frac{d \vec{p}}{dt}

 

Se la somma delle forze è nulla, allora è nulla anche la variazione nel tempo della quantità di moto, che resta dunque costante.

 

\vec{F}_{ris}=\underline{0}\ \Rightarrow\ \frac{d \vec{p}}{dt}=\underline{0}\ \rightarrow\ \vec{p}=\mbox{costante}

 

 


 

Qui abbiamo visto il principio applicato ad un solo corpo, ma come vedremo nella lezione successiva può essere applicato anche a un sistema di più corpi. Una anticipazione? Pensate ad un sistema costituito da un cannone e da una palla prima e dopo lo sparo... ;)

 

Vi auguriamo un buon proseguimento con le nostre lezioni e, nel caso foste alla ricerca di esercizi svolti sulla conservazione della quantità di moto, non esitate: la barra di ricerca interna vi permetterà di scegliere tra migliaia e migliaia di esercizi risolti! :)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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