Quantità di moto

La grandezza fisica di cui parliamo in questa pagina - la quantità di moto (simbolo p)- aggiunge un ulteriore tassello nello studio della Dinamica, perché permette di individuare e di misurare una caratteristica dei sistemi fisici che finora non abbiamo mai incontrato.

 

Partendo dalla definizione e dalla formula della quantità di moto, spiegheremo quali sono le caratteristiche di questa nuova grandezza e perché è importante nello studio dei modelli fisici, facendo riferimento ad opportuni esempi.

 

Nel prosieguo della spiegazione dedicheremo una lezione a parte per introdurre una ulteriore legge che caratterizza un determinato tipo di sistemi in Fisica, in modo simile a quanto abbiamo già visto per l'energia meccanica. Per la quantità di moto vale infatti un principio del tutto analogo, detto principio di conservazione della quantità di moto.

 

Definizione e formula della quantità di moto

 

Quando due oggetti si muovono uno incontro all'altro fino a scontrarsi, quale è il moto che seguiranno dopo l'urto? In che direzione si muoveranno e con quale velocità? A partire dallo studio degli urti tra corpi (che tratteremo nelle prossime lezioni) risulta particolarmente utile introdurre una nuova grandezza, chiamata quantità di moto e definita come segue:

 

 \vec{p} = m \vec{v}

 

Come si evince dalla formula della quantità di moto, che funge da definizione, si tratta di una grandezza vettoriale data dal prodotto della massa per il vettore velocità.

 

Nei sistemi ad una dimensione possiamo riscrivere la precedente formula come

 

p=mv

 

ricordando che, in questo caso, il verso verrà specificato dal segno della velocità v.

 

L'unità di misura della quantità di moto è il chilogrammo per metro fratto secondi

 

\frac{\mbox{kg}\cdot \mbox{m}}{\mbox{s}}

 

e va scritta in forma estesa perché, a differenza dei newton o dei joule, al kg·m/s non viene attribuito un nome specifico.

 

Esempio di calcolo della quantità di moto

 

Consideriamo una persona di 75 kg che cammina lungo una strada rettilinea ad una velocità pari a 5 km/h e calcoliamone la quantità di moto.

 

Per determinarla fisseremo naturalmente un sistema di riferimento unidimensionale con verso delle coordinate crescenti rivolto nel verso del moto della persona. In questo modo possiamo esprimere il vettore velocità come un valore positivo, non prima di averla convertita in m/s

 

v=+5\ \frac{\mbox{km}}{\mbox{h}}=+1,389\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}

 

dunque

 

p=mv=(75\mbox{ kg})\cdot\left(1,389\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\right)=104,175\ \frac{\mbox{kg}\cdot\mbox{m}}{\mbox{s}}

 

Proprietà e caratteristiche della quantità di moto

 

Il vettore quantità di moto ha sicuramente la stessa direzione del vettore velocità. Infatti il prodotto di uno scalare per un vettore (massa per velocità) è un vettore con la medesima direzione, ma diverso modulo. Anche il verso è lo stesso visto che la massa è una quantità sempre positiva, e dunque ininfluente sul segno del vettore velocità.

 

La quantità di moto è una di quelle grandezze della Fisica difficili da comprendere, perlomeno all'inizio, perché non è riconducibile a qualcosa di tangibile. Viene definita per le sue proprietà e per il fatto che, come vedremo nelle lezioni dedicate agli urti, ci permetterà di affrontare una categoria di fenomeni che altrimenti sarebbero più difficili da trattare. Inoltre anche per la quantità di moto esiste un principio di conservazione, un po' come accadeva per l'energia meccanica.

 

Quantità di moto di un sistema di corpi

 

Se abbiamo a che fare con un sistema di più corpi, la quantità di moto totale del sistema è data dalla somma delle quantità di moto di ogni singolo corpo che compone il sistema.

 

\vec{p}_{tot} = \sum_{k = 1}^{n}{\vec{p}_{k}}=\vec{p}_1+\vec{p}_2+...+\vec{p}_n

 

Attenzione al fatto che si tratta di una somma vettoriale e dunque non è sufficiente conoscere solo il valore numerico della quantità di moto \vec{p}_i di ogni corpo; è necessario tenere conto anche della direzione e del verso.

 

Esempio sulla quantità di moto di un sistema di corpi

 

Vediamo un esempio di calcolo della quantità di moto per un sistema di corpi. Supponiamo di avere due corrieri che partono dal deposito in due direzioni diverse per le consegne del giorno: il primo va verso est con una velocità di 20 m/s mentre il secondo va verso sud con una velocità di 15 m/s. Entrambi i furgoni hanno una massa di 2000 kg. Vogliamo trovare la quantità di moto totale del sistema formato dai due furgoni.

 

Calcoliamo separatamente le due quantità di moto per ogni singolo furgone, in particolare calcoliamo i moduli delle quantità di moto:

 

\\ p_1=m_1v_1=(2000\mbox{ kg})\cdot \left(20\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\right)=4\cdot 10^4\ \frac{\mbox{kg}\cdot\mbox{m}}{\mbox{s}}\\ \\ p_2=m_2v_2=(2000\mbox{ kg})\cdot\left(15\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\right)=3\cdot 10^{4}\ \frac{\mbox{kg}\cdot \mbox{m}}{\mbox{s}}

 

Ora fissiamo un sistema di riferimento e rappresentiamo i vettori nel piano come nella seguente figura:

 

 

Quantità di moto

 

 

Il vettore somma viene individuato mediante la regola del parallelogramma. Per trovare il modulo della quantità di moto totale del sistema possiamo applicare il teorema di Pitagora.

 

p_{tot}=\sqrt{p_1^2+p_2^2}=5\cdot 10^4\ \frac{\mbox{kg}\cdot\mbox{m}}{\mbox{s}}

 

La direzione del vettore risultante possiamo ricavarla calcolando l'angolo \alpha mediante la definizione di tangente di un angolo:

 

\tan{\alpha}=\frac{p_2}{p_1}

 

quindi, invertendo la relazione e passando all'arcotangente

 

\alpha=\arctan\left(\frac{p_2}{p_1}\right)=\arctan\left(\frac{3\cdot 10^4\ \frac{\mbox{kg}\cdot \mbox{m}}{\mbox{s}}}{4\cdot 10^4\ \frac{\mbox{kg}\cdot \mbox{m}}{\mbox{s}}}\right)=\arctan\left(\frac{3}{4}\right)\simeq 36,87^o

 

dove il risultato è stato determinato con l'ausilio della calcolatrice.

 

Quantità di moto e seconda legge di Newton

 

In termini storici la quantità di moto è anche la grandezza usata da Isaac Newton per la formulazione del secondo principio della dinamica. Noi l'avevamo enunciato nel modo seguente:

 

 \vec{F} = m \vec{a}

 

formula secondo cui la forza è uguale al prodotto della massa per l'accelerazione. Questo però è vero a patto che la massa resti costante nel tempo; se la massa invece dovesse subire variazioni, allora la seconda legge di Newton andrebbe scritta più correttamente con l'ausilio delle derivate:

 

 \vec{F} = \frac{d \vec{p}}{dt}

 

La riscrittura della seconda legge di Newton in termini di quantità di moto stabilisce quindi che la forza è la derivata della quantità di moto di un corpo rispetto al tempo. Ricordatevi che le derivate in Fisica misurano sempre una variazione: pertanto la forza è pari alla variazione della quantità di moto nel tempo.

 

Variare la quantità di moto siginifica variare la velocità oppure la massa oppure ancora entrambe le grandezze. Ecco che allora questa nuova formulazione della seconda legge della dinamica rappresenta la versione più estesa e completa di quella che conoscevamo già ed è in effetti così che Newton la scrisse.

 

Se poi la massa dovesse rimanere costante nel tempo, allora potremmo tornare alla classica formulazione \vec{F}=m\vec{a}. Infatti:

 

 \vec{F} = \frac{d \vec{p}}{dt} = \frac{d(m \vec{v})}{dt} = m \frac{d \vec{v}}{dt} = m \vec{a}

 

dove abbiamo portato fuori dalla derivata la massa perché costante nel tempo, e abbiamo riscritto la derivata della velocità rispetto al tempo come l'accelerazione, in accordo con la definizione.

 

 


 

Per ora è tutto. Nelle lezioni successive presenteremo il concetto di impulso e il principio di conservazione della quantità di moto; inoltre, come vedremo nel seguito, la quantità di moto gioca un ruolo preponderante nello studio degli urti.

 

Come di consueto invitiamo chiunque voglia consultare altri esempi ed esercizi svolti ad usare la barra di ricerca interna: qui su YM lo Staff ha risolto migliaia di esercizi e problemi, spiegando tutto nel dettaglio. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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