La potenza

La potenza in Fisica (detta semplicemente potenza fisica o ancor più sinteticamente potenza, simbolo P) è una grandezza legata al concetto di lavoro che fornisce una misura di quanto lavoro viene compiuto in un'unità di tempo.

 

In effetti il termine potenza viene mutuato dalla Fisica e viene utilizzato ampiamente nel linguaggio comune. Come vedremo tra poco, per quanto nella vita quotidiana si usi il termine potenza nei contesti più disparati per esprimere l'intensità con cui si compie uno sforzo fisico o meccanico, il concetto fisico di potenza non è poi così diverso da quello cui ci riferiamo nella vita di tutti i giorni.

 

Bando alle ciance: in questa lezione daremo la definizione e introdurremo la formula della potenza, per poi applicarla in alcuni esempi ed imparare ad utilizzarla negli esercizi e nelle applicazioni. ;)

 

Definizione e formule della potenza

 

A volte non ci interessa sapere solo quanto lavoro sviene svolto da una forza ma anche quanto tempo impieghiamo per svolgerlo. È per questo motivo che si introduce una nuova grandezza, la potenza, data dal rapporto tra il lavoro compiuto e il tempo.

 

Definizione di potenza: lavoro compiuto da una forza nell'unità di tempo

 

Prima di procedere riportiamo una tabella riepilogativa con tutte le formule della potenza che tratteremo in questa lezione, in modo da riassumerle per chi ci sta leggendo per ripassare.

 

 

Potenza (con forza costante) P=\frac{L}{t}
Formule inverse L=Pt\ \ \ ;\ \ \ t=\frac{L}{P}
Potenza (con forza costante) \\ P=\vec{F}\cdot \vec{v}\\ \\ \mbox{se }\vec{F}\parallel\vec{v}\ \to\ P=Fv
Formule inverse con i moduli (con forza costante parallela alla velocità) F=\frac{P}{v}\ \ \ ;\ \ \ v=\frac{P}{F}
Potenza media (con forza variabile) \bar{P}=\frac{L}{t}
Formule inverse (con forza variabile)

L=\bar{P}t\ \ \ ;\ \ \ t=\frac{L}{\bar{P}}

Potenza istantanea (con forza variabile) P=\frac{dL}{dt}

Potenza istantanea (con forza costante)

P=\bar{P}

 

 

Riprendiamo la definizione generale: la potenza è il lavoro svolto nell'unità di tempo. Essa si traduce ovviamente in diverse formule di calcolo che vengono utilizzate nelle applicazioni pratiche e negli esercizi. Nel darne la formulazione matematica dobbiamo però distinguere tra la potenza nel caso in cui il lavoro venga compiuto da una forza costante o da una forza variabile.

 

Il primo caso è quello che viene più comunemente considerato negli studi alle scuole superiori e nei relativi esercizi.

 

Formula della potenza (con forza costante)

 

 P = \frac{L}{t}

 

Come si vede dalla definizione stessa, la potenza è data dal rapporto tra il lavoro compiuto ed il tempo impiegato per svolgerlo. Essa è una grandezza scalare la cui unità di misura è il J/s (joule su secondi), unità che per comodità viene denominata watt (simbolo W).

 

1\mbox{ W}=1\ \frac{\mbox{J}}{\mbox{s}}

 

Per completezza, esistono altre unità di misura della potenza che a differenza del watt non rientrano nel Sistema internazionale: il cavallo vapore e l'horsepower. Per tutti gli approfondimenti del caso vi rimandiamo alle pagine dei rispettivi link.

 

Dalla formula scritta poco sopra si capisce facilmente che la potenza può assumere valori sia positivi che negativi, perché tali sono i valori che può assumere il lavoro. È inoltre immediato ricavare le formule inverse:

 

\\ L = Pt\\ \\ t = \frac{L}{P}

 

Esempio sulla potenza

 

Vediamo un primo esempio sul calcolo della potenza fisica. Consideriamo un montacarichi in grado di sollevare un mobile da terra fino a 12 metri di altezza, esercitando una forza costante di 800 newton per 20 secondi.

 

Fissiamo quindi un sistema di riferimento unidimensionale con origine all'altezza del suolo e verso delle coordinate crescenti rivolto vero l'alto. Nel calcolare il lavoro osserviamo che forza e spostamento sono paralleli e concordi

 

L=Fs=mgs=(800 \mbox{ N}) \cdot (12 \mbox{ m})=9,6\cdot 10^3\mbox{ J}

 

Abbiamo così ricavato il lavoro compiuto dal montacarichi, pari a 9,6 · 103 joule. In accordo con la definizione, la potenza sviluppata è:

 

P=\frac{L}{t}=\frac{9,6 \cdot 10^3\mbox{ J}}{20\mbox{ s}}=4,8 \cdot 10^{2}\mbox{ W}

 

Se lo stesso montacarichi esercitasse una forza di 1000 N portando il mobile alla stessa altezza e nello stesso tempo, svilupperebbe sicuramente una potenza maggiore perché, a parità di tempo, compierebbe un lavoro maggiore.

 

Se invece la forza di 800 N venisse esercitata in 15 secondi anziché in 20, anche in questo caso il montacarichi svilupperebbe una potenza maggiore perché compierebbe lo stesso lavoro ma in minor tempo.

 

Dall'esempio appena visto si deduce che la potenza può essere incrementata aumentando il lavoro o diminuendo il tempo, o facendo entrambe le cose.

 

Potenza media e potenza istantanea

 

La formula per la potenza scritta in precedenza è valida a patto che il lavoro sia compiuto da una forza costante nel tempo. Se invece considerassimo il lavoro di una forza variabile nel tempo, anche la potenza non sarebbe costante; in tale eventualità si introducono due diversi tipi di potenza che forniscono due diverse misure del modo in cui il lavoro viene svolto nell'intervallo di tempo

 

- la potenza media, che si indica con \bar{P} e che esprime il valore medio con cui il lavoro viene svolto nell'intervallo di tempo. Essa si calcola con la formula

 

\bar{P}=\frac{L}{t}

 

- la potenza istantanea, che si indica con P e che esprime il particolare valore di potenza in un preciso istante di tempo. Essa si calcola con la formula

 

 P = \frac{dL}{dt}

 

in parole povere la potenza istantanea è la derivata del lavoro rispetto al tempo. Dato che alle scuole superiori si studiano le derivate non prima del quinto anno, chiunque non abbia ancora affrontato l'argomento può stare tranquillo perché non incontrerà alcun esercizio che chieda di calcolare esplicitamente la potenza istantanea. ;)

 

Chiaramente, nel caso di forze costanti nel tempo la potenza istantanea coincide in ogni istante con la potenza media

 

P=\bar{P}\ \ \ (\mbox{forze costanti})

 

In accordo con la definizione di derivata è anche possibile scrivere la formula per la potenza istantanea come limite del rapporto incrementale:

 

 P = \lim_{\Delta t \to 0}{\frac{\Delta L}{\Delta t}}

 

dove la potenza istantanea è definita come il lavoro svolto in un intervallo di tempo Δt che viene spinto a zero dal limite, ottenendo così l'intervallo infinitesimo dt scritto prima.

 

Potenza come prodotto tra forza e velocità

 

Esiste ancora una formula alternativa per la potenza che coinvolge la forza e la velocità e che è valida nel caso di forze costanti nel tempo

 

 P = \vec{F} \cdot \vec{v}

 

in cui compare il prodotto scalare tra il vettore forza e il vettore velocità. Nel caso in cui i due vettori fossero paralleli, allora la potenza sarebbe data dal semplice prodotto dei moduli dei due vettori

 

P=Fv

 

Come si arriva a questa nuova formula? Per ricavarla (dimostrazione per soli studenti universitari) basta partire dalla potenza istantanea e applicare la definizione di lavoro nel caso di forze costanti (prodotto scalare tra la forza e lo spostamento)

 

 P = \frac{dL}{dt} =\frac{d(\vec{F}\cdot \vec{s})}{dt}=\frac{\vec{F} \cdot d\vec{s}}{dt}= \vec{F}\cdot\frac{d\vec{s}}{dt} = \vec{F} \cdot \vec{v}

 

dove il terzultimo passaggio è reso possibile dal fatto che la forza è costante rispetto al tempo, mentre nell'ultimo passaggio abbiamo sostituito \frac{d\vec{s}}{dt} con la velocità istantanea, in accordo con la definizione.

 

 


 

Più avanti, nelle lezioni di elettromagnetismo, avremo modo di riprendere il concetto di potenza definendo la potenza elettrica. Per il momento proseguiamo nello studio della Dinamica: nella prossima lezione passeremo a parlare della quantità di moto, e se nel frattempo volete leggere altri esempi e allenarvi, potete trovare tantissimi esercizi svolti usando la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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