Energia meccanica

Ora che sappiamo cosa sono l'energia cinetica e l'energia potenziale di un corpo, possiamo introdurre un'ulteriore forma di energia che tenga conto di entrambe: l'energia meccanica, una grandezza importantissima nello studio della Dinamica (e più in generale della Fisica), generalmente indicata con il simbolo E.

 

Se avete letto le lezioni precedenti, vi sarete sicuramente accorti che in diverse occasioni abbiamo accennato al fatto che una forma di energia può trasformarsi in un'altra forma, ma è solo introducendo il concetto di energia meccanica e provando ad applicarlo ad alcuni esempi, che possiamo davvero capirne la logica.

 

Qui di seguito vedremo la definizione di energia meccanica ed enunceremo un principio fondamentale che la contraddistingue: il principio di conservazione dell'energia. Naturalmente proporremo tutte le formule e gli esempi del caso. ;)

 

Definizione e formula dell'energia meccanica

 

La formula dell'energia meccanica consiste al tempo stesso in una definizione ed in un metodo operativo per calcolarla. Ecco quindi come è definita l'energia meccanica:

 

 E=K+U

 

A ben vedere non si tratta tanto di una nuova forma di energia, quanto piuttosto della semplice somma delle due forme di energia già viste: quella cinetica (K) e quella potenziale (U). Di conseguenza l'unità di misura dell'energia meccanica è il joule (J).

 

Principio di conservazione dell'energia meccanica

 

Da dove nasce l'esigenza di dover definire l'energia meccanica? Come vedremo tra un'istante, nel caso delle forze conservative il confronto tra l'energia potenziale e l'energia cinetica conduce ad un risultato dall'importanza eccezionale nello studio dei sistemi fisici: il principio di conservazione dell'energia, detto anche legge di conservazione dell'energia meccanica.

 

Ragioniamo nel modo seguente: abbiamo visto che il lavoro compiuto da una forza comporta una variazione di energia cinetica del corpo soggetto alla forza, in accordo con il teorema dell'energia cinetica:

 

L=\Delta K

 

Dalla definizione di energia potenziale sappiamo anche che, per una forza conservativa, il lavoro è pari alla differenza di energia potenziale cambiata di segno

 

L=- \Delta U

 

Dunque, solo se in presenza di forze conservative, possiamo uguagliare i due lavori

 

 \Delta K = - \Delta U

 

Se sviluppiamo i delta, che rappresentano come sempre una variazione della grandezza che segue, otteniamo

 

 K_{f} - K_{i} = -  U_{f} + U_{i}

 

Riordiniamo i termini in modo da avere le due energie iniziali a primo membro e quelle finali a destra dell'uguale

 

 K_{i} + U_{i} = K_{f} + U_{f}

 

Abbiamo così scoperto che la somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale allo stato iniziale è uguale alla somma delle medesime energie allo stato finale. È qui che nasce l'esigenza di definire la somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale come una nuova grandezza, detta per l'appunto energia meccanica, e alla luce di tale definizione possiamo scrivere la formula:

 

 E_{f} = E_{i}

 

Ecco quindi enunciato il principio di conservazione dell'energia meccanica, o più brevemente principio di conservazione dell'energia, il quale stabilisce che: in un sistema isolato in cui agiscono solo forze conservative, l'energia meccanica si conserva.

 

Significato del principio di conservazione dell'energia meccanica

 

Nell'enunciato appena scritto il termine "conservare" significa semplicemente che l'energia meccanica resta costante.

 

Se vi state chiedendo cosa si intenda per sistema isolato, si tratta semplicemente di un sistema in cui i corpi non sono soggetti a forze esterne o, nel caso in cui ci dovessero essere delle forze esterne, queste non compiono lavoro sul sistema.

 

Nel principio di conservazione dell'energia è poi specificata la presenza di forze conservative, in quanto solo per questo tipo di forze è possibile definire un'energia potenziale e seguire i passaggi svolti per arrivare alla conservazione dell'energia meccanica.

 

Esempi sul principio di conservazione dell'energia

 

Un buon esempio per comprendere il principio di conservazione dell'energia meccanica è dato dalle montagne russe. Se trascuriamo le forze di attrito, siamo in presenza della sola forza peso che muove i vagoncini.

 

La reazione vincolare dei binari è una forza esterna ed è sempre perpendicolare allo spostamento, pertanto non compie lavoro.

 

Di conseguenza l'energia meccanica si conserva.

 

 

Principio di conservazione dell'energia

 

 

Supponiamo che nel punto più alto il trenino abbia un'energia cinetica pari a 2000 J (in cima è piuttosto lento) ed un'energia potenziale gravitazionale di 28000 J. In questo punto l'energia meccanica ammonta a 30000 J.

 

Ora, in qualunque altro punto del percorso, le energie cinetica e potenziale cambiano i loro rispettivi valori perché cambiano la velocità e l'altezza da terra del trenino; ma la loro somma, ovvero l'energia meccanica, resterà sempre pari a 30000 J.

 

Succede allora che, nel punto più basso l'energia potenziale è scesa ad esempio a 5000 J (perché è diminuita l'altezza) mentre l'energia cinetica è aumentata a 25000 J (perché è aumentata la velocità). La loro somma però ci restituisce sempre il valore di 30000 J.

 

L'esempio mette quindi in luce che l'energia cinetica e quella potenziale si trasformano continuamente l'una nell'altra lasciando inalterata la loro somma.

 

Esempio sul calcolo dell'energia meccanica

 

Vediamo un esempio di calcolo ben più operativo. Una signora lascia sbadatamente cadere un vaso fiori giù dal balcone alto 8 metri rispetto alla strada. Con quale velocità il vaso arriva a schiantarsi per terra?

 

Fino ad oggi avremmo dovuto tentare di rispondere alla domanda facendo uso solo delle leggi della Cinematica (in questo caso abbiamo un moto in caduta libera). Oggi invece possiamo approcciare il problema da un punto di vista energetico grazie al principio di conservazione dell'energia meccanica. Ed è proprio da qui che partiamo perché siamo in presenza della sola forza peso, che è conservativa (trascuriamo infatti l'attrito con l'aria).

 

Scriviamo la formula relativa al principio di conservazione dell'energia

 

 K_{i} + U_{i} = K_{f} + U_{f}

 

Snoccioliamo l'equazione sostituendo ad ogni forma di energia la sua formula particolare. Ricordandoci la formula per l'energia potenziale gravitazionale

 

 \frac{1}{2} mv_{i}^{2} + mgh_{i}= \frac{1}{2} mv_{f}^{2} + mgh_{f}

 

A questo punto, bisogna avere bene in mente qual è la situazione iniziale e quale quella finale. All'inizio il vaso si trova fermo sul balcone a 8 m di altezza da terra. Alla fine, il vaso tocca il suola con una certa velocità.

 

È sempre bene verificare se, eventualmente, tra i quattro termini dell'equazione ce ne siano uno o più che possano essere eliminati. In effetti il vaso parte inizialmente da fermo (vi = 0) e, al momento dello schianto sulla strada, avrà un'altezza nulla (hf = 0). Pertanto il primo e l'ultimo termine dell'equazione possono essere cancellati.

 

 mgh_{i}= \frac{1}{2} mv_{f}^{2}

 

Possiamo semplificare la massa, dacché compare ad ambo i membri:

 

 gh_{i}= \frac{1}{2} v_{f}^{2}

 

e a questo punto ricaviamo la velocità finale.

 

v_{f}=\sqrt{2gh_{i}} =\sqrt{2\cdot\left(9,81\ \frac{m}{s^2}\right)\cdot(8\mbox{ m})}=12,5\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}

 

e abbiamo ricavato il valore della velocità finale, 12,5 m/s, senza usare neanche mezza formula della Cinematica. :)

 

 


 

Vi assicuriamo che avrete modo di apprezzare in tantissime circostanze, pratiche e teoriche, l'importanza della conservazione dell'energia meccanica e dell'approccio basato sul bilancio energetico nella risoluzione degli esercizi. Di contro, nel prossimo articolo passeremo a considerare i casi in cui l'energia non si conserva.

 

Se volete consultare degli esercizi svolti sull'energia meccanica e sul principio di conservazione, non dovete fare altro che usare la barra di ricerca interna; YM è pieno zeppo di esercizi e problemi risolti che aspettano solo di essere letti! ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

Lezione precedente..........Lezione successiva


Tags: definizione e formula dell'energia meccanica e principio di conservazione dell'energia.